obliczyć różnicę potencjałów

[rObO87]

Mam zadanie:
sprawdzić, że pole \(\displaystyle{ V(x,y,z) = (2xy ; x^2-2yz ; 4z-y^2)}\) jest potencjalne. Sprawdziłem, pole jest potencjalne. Potem była całka do policzenia:

\(\displaystyle{ \int\limits_{K} 2xydx + (x^2-2yz)dy + (4z-y^2)dz}\)

jeżeli krzywa K dana jest parametryzacją:

\(\displaystyle{ K(t)=(arctg(\frac{t}{2} ; arcsin(\frac{t}{2}) ; t^2+1)}\)

\(\displaystyle{ t \epsilon [0,2]}\)


Dowiedziałem się, że nie należało tej całki liczyć poprzez podstawienie za x y z odpowiednich wzorów z parametryzacji, tylko obliczyć różnicę potencjałów. Pytanie jak to zrobić. Domyślam się, że chodzi o potencjał w punkcie t=0 i t=2.

[Amon-Ra]

Potencjał f(x,y,z) obliczysz, wiedząc, iż \(\displaystyle{ V(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)}\), czyli pisząc explicite:

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=2xy \\ \frac{\partial f}{\partial y}=x^2-2yz \\ \frac{\partial f}{\partial z}=4z-y^2}\)

Układ równań do rozwiązania. Szukana całka to \(\displaystyle{ f(K(2))-f(K(0))}\).

[rObO87]

Układ równań do rozwiązania. Szukana całka to \(\displaystyle{ f(K(2))-f(K(0))}\).

Taki układ?

\(\displaystyle{ 2y=2xy \\ -2z=x^2-2yz \\ 4=4z-y^2}\)

I co dalez z tym zrobić, jak otrzymam wartości x,y,z ?
Czyli jak mam parametryzację K, to wstawiam kolejno za t 0 i 2 i otrzymam wynik w postaci:
\(\displaystyle{ f(K(2))-f(K(0))=a; b; c}\)

[Amon-Ra]

Taki układ?

A bynajmniej.

No pomyśl nieco - potencjał to f, musisz znać jawną jego postać. Otrzymałeś układ równań różniczkowych, które są uwikłaną postacią szukanej funkcji. Rozdzielasz zmienne, całkujesz obustronnie, porównujesz i wyprowadzasz taką postać funkcji f, aby spełniony był warunek \(\displaystyle{ V=\nabla f}\).

Czyli jak mam parametryzację K, to wstawiam kolejno za t 0 i 2 i otrzymam wynik w postaci:

Funkcja f przeprowadza przestrzeń trójwymiarową w ciało liczbowe, czyli, jak każda funkcja zmiennych rzeczywistych, jest odwzorowanem postaci \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}}\), stąd nie bardzo rozumiem, co mają znaczyć te literki a;b;c, a mam nadzieję, iż nie miałeś na myśli wektora . Wynik obliczania krzywoliniowej całki Riemanna to liczba, bo i pod całką widnieje (niejawnie) iloczyn skalarny:

\(\displaystyle{ \int_k F\cdot dk=\int_k ft[P,Q,R\right] ft[dx,dy,dz\right]=\int_k Pdx+Qdy+Rdz}\)

Współrzędne punktu K (czy też współrzędne wektora w przestrzeni liniowej) są trzy, trzy liczby także potrzebne będą do obliczenia rozpatrywanej całki. Co do podstawiania w miejsce parametru t liczb 2 i 0 masz zatem rację .

[rObO87]

a,b,c - miałem na myśli liczby rzeczywiste

Czyli krótko mówiąc jeżeli wiem, że działam w polu potencjalnym, to:

\(\displaystyle{ \int\limits_{K} 2xydx + (x^2-2yz)dy + (4z-y^2)dz = K(2) - K(0) =(arctg(\frac{2}{2} ; arcsin(\frac{2}{2}) ; 2^2+1) - (arctg(\frac{0}{2} ; arcsin(\frac{0}{2}) ; 0^2+1)}\)

Jeżeli nie wiem o polu potencjalnych, to całkę liczę standardowo

[Amon-Ra]

a,b,c - miałem na myśli liczby rzeczywiste

Wynikiem będzie jedna liczba rzeczywista .

Dlaczego nie czytasz, co piszę? Wynikiem obliczenia całki jest liczba, a Ty chcesz odejmować od siebie wektory. Do uzyskania wyniku potrzebna Ci jest funkcja wyrażająca potencjał, zatem nie \(\displaystyle{ K(2)-K(0)}\), bo dostałbyś współrzędne punktu, a \(\displaystyle{ f(K(2))-f(K(0))}\).

Jeżeli nie wiem o polu potencjalnych, to całkę liczę standardowo

Tak, jak wymagają tego reguły obliczania całek, zatem owszem .

[rObO87]

Czyli bez znajomości równań różniczkowych i funkcji uwikłanych tego nie policze :mad:

[Amon-Ra]

Ale tutaj nie jest potrzebna jakaś wyrafinowana wiedza, po prostu rozdzielasz zmienne i całkujesz wielomiany, żadna filozofia .

Jeżeli sobie nie poradzisz, daj znać.

[rObO87]

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=2xy => f_{x} =\int 2xy dx}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}=x^2-2yz => f_{y} =\int x^2-2yz dy}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial z}=4z-y^2 => f_{z} =\int 4z-y^2 dz}\)

[Amon-Ra]

Ty naprawdę nie czytasz tego, co piszę. Funkcja f jest funkcją, skalarną, jak może mieć składowe?

Z pierwszego równania \(\displaystyle{ f(x,y,z)=\int 2xydx=x^2 y + \varphi(y,z)}\). Różniczkując po y i porównując do drugiej składowej pola wektorowego, mamy \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}=x^2+\frac{\partial \varphi}{\partial y}=x^2-2yz}\), na tej podstawie \(\displaystyle{ \varphi(y,z)=\int -2yzdy=-y^2z+\psi(z)}\). Teraz wyrażenie \(\displaystyle{ f(x,y,z)=x^2 y + \varphi(y,z)=x^2y-y^2z+\psi(z)}\) różniczkujemy po z i porównujemy do trzeciej składowej, stąd \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial z}=-y^2+\frac{d\psi}{dz}=-y^2+4z}\), stąd \(\displaystyle{ \psi(z)=\int 4zdz=2z^2+C}\). Konstatując, \(\displaystyle{ f(x,y,z)=x^2 y-y^2 z+2z^2+C}\). Twoje zadanie obliczyć teraz wartość całki i sprawdzić wpierw, czy faktycznie \(\displaystyle{ V=\nabla f}\).