policzyć max i min lokalne
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 17 wrz 2007, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1 raz
policzyć max i min lokalne
Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2 \mathbb{R},}\) \(\displaystyle{ f(x,y)= x^2+2xy+y}\)
Znaleźć jej najmniejszą i największą wartość na zbiorze \(\displaystyle{ [-1,1]\times [-1,1]}\)
Poprawiłem nieco zapis.
max
Znaleźć jej najmniejszą i największą wartość na zbiorze \(\displaystyle{ [-1,1]\times [-1,1]}\)
Poprawiłem nieco zapis.
max
Ostatnio zmieniony 17 wrz 2007, o 18:43 przez sporny, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 17 wrz 2007, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1 raz
policzyć max i min lokalne
nie do konca mi rozjasnia... tu jest troche inna sytuacja. moglbys mi pomoc i rozw???
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 17 wrz 2007, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1 raz
policzyć max i min lokalne
mam policzone min i max po brzegach funkcji. problem to obl min i max w podanym zakresie
- bolo
- Użytkownik
- Posty: 2470
- Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BW
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 191 razy
policzyć max i min lokalne
Wypisz punkty z obrzeża obszaru, które wyliczyłeś.
Następnie należy rozwiązać układ równań z pochodnymi cząstkowymi:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=0\end{cases}}\)
Póki co jeszcze nie patrz na ten zakres, poszukaj par punktów będących rozwiązaniem powyższego układu. Jak to zrobisz, będziemy działać dalej.
Następnie należy rozwiązać układ równań z pochodnymi cząstkowymi:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=0\end{cases}}\)
Póki co jeszcze nie patrz na ten zakres, poszukaj par punktów będących rozwiązaniem powyższego układu. Jak to zrobisz, będziemy działać dalej.
Ostatnio zmieniony 17 wrz 2007, o 20:30 przez bolo, łącznie zmieniany 1 raz.
- bolo
- Użytkownik
- Posty: 2470
- Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BW
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 191 razy
policzyć max i min lokalne
Ehh...
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=2x+2y=2(x+y) \\ \frac{\partial f}{\partial y}=2x+1}\)
Przyrównujemy do \(\displaystyle{ 0}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=0\end{cases} \\ \begin{cases}2(x+y)=0 \\ 2x+1=0\end{cases} \\ \begin{cases}x=-\frac{1}{2} \\ y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Czyli mamy jeden punkt: \(\displaystyle{ P=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}\), znajduje się on wewnątrz zadanego obszaru. Teraz trzeba sprawdzić, czy spełnia on warunek:
\(\displaystyle{ \left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\right)_{(x_{0},y_{0})}\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\right)_{(x_{0},y_{0})}-\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\right)^{2}_{(x_{0},y_{0})}>0.}\)
Jeśli tak, to w tym punkcie znajduje się jakieś ekstremum, a jakie to wyjaśni znak drugiej pochodnej.
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=2x+2y=2(x+y) \\ \frac{\partial f}{\partial y}=2x+1}\)
Przyrównujemy do \(\displaystyle{ 0}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=0\end{cases} \\ \begin{cases}2(x+y)=0 \\ 2x+1=0\end{cases} \\ \begin{cases}x=-\frac{1}{2} \\ y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Czyli mamy jeden punkt: \(\displaystyle{ P=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}\), znajduje się on wewnątrz zadanego obszaru. Teraz trzeba sprawdzić, czy spełnia on warunek:
\(\displaystyle{ \left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\right)_{(x_{0},y_{0})}\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\right)_{(x_{0},y_{0})}-\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\right)^{2}_{(x_{0},y_{0})}>0.}\)
Jeśli tak, to w tym punkcie znajduje się jakieś ekstremum, a jakie to wyjaśni znak drugiej pochodnej.
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 17 wrz 2007, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1 raz
policzyć max i min lokalne
ok to już mam, drugie pochodne mi wyszły:
f'x=2
f'y=0
f'xy=2
policzyłem nierówność tą na sprawdzenie czy jest ekstremum lokalne wychodzi mi mniejsze od zera, czyli nie ma ekstremum w tym punkcie tak?
jesli tak co dalej...
mam już policzone min i max na brzegach....wychodzi 4 i -2
co dalej...
f'x=2
f'y=0
f'xy=2
policzyłem nierówność tą na sprawdzenie czy jest ekstremum lokalne wychodzi mi mniejsze od zera, czyli nie ma ekstremum w tym punkcie tak?
jesli tak co dalej...
mam już policzone min i max na brzegach....wychodzi 4 i -2
co dalej...
- bolo
- Użytkownik
- Posty: 2470
- Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BW
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 191 razy
policzyć max i min lokalne
Owszem, w wyliczonym wcześniej punkcie nie ma ekstremum, ten punkt był tylko "podejrzany" o możliwe istnienie. Podsumowując: w podanym przedziale funkcja \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wartość minimalną w punkcie \(\displaystyle{ A=(1,-1)}\) (i wynosi \(\displaystyle{ -2}\)) oraz maksymalną w punkcie \(\displaystyle{ B=(1,1)}\) (i wynosi \(\displaystyle{ 4}\)).
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 17 wrz 2007, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1 raz
policzyć max i min lokalne
i nic więcej nie trzeba liczyć.....
tak miałem zrobione, ale wykładowczyni chciała jeszcze jakies ekstrema...żeby policzyć...
tak miałem zrobione, ale wykładowczyni chciała jeszcze jakies ekstrema...żeby policzyć...