sprawdzic rozniczkowalnosc funkcji

[eloar]

mamy funkcje:
\(\displaystyle{ f(x,y)\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^2+y^2-2x-4y+5}}\ (x,y)\neq(1,2)\\
0\ (x,y)=(1,2)\end{cases}}\)

doszedlem do przekrztalcenia funkcji w:
\(\displaystyle{ f(x,y)=e^{-\frac{1}{(x-1)^2+(y-2)^2}}}\)

bede wdzieczny jak ktos podpowie jak to dalej ruszyc.

[ Dodano: 18 Września 2007, 15:26 ]
czyzby nikt nie wiedzial jak badac rozniczkowalnosc funkcji? To chyba malo prawdopodobne.

[robin5hood]

\(\displaystyle{ f(x,y)=e^{-\frac{1}{(x-1)^2+(y-2)^2}}}\)
bedziemy korzystac z granicy
\(\displaystyle{ \lim_{t\to } \frac{t}{e^t}=0}\)
liczymy pochodne cząstkowe
\(\displaystyle{ f'_x(1,2)=\lim_{h\to 0} \frac{e^{-\frac{1}{h^2}}}{h}=\lim_{h\to 0} -h \frac{\frac{1}{h^2}}{e^{\frac{1}{h^2}}}=0}\)
analogicznie
\(\displaystyle{ f'_y(1,2)=0}\)
teraz z defincji rózniczkowalności mamy
\(\displaystyle{ lim_{h \to 0}\frac{f((1,2)+h)-f(1,2)-Ah}{||h||}=lim_{h \to 0}\frac{e^{-\frac{1}{(h_1-1)^2+(h_2-2)^2}}}{\sqrt{(h_1-1)^2+(h_2-2)^2}}=lim_{h \to 0}\sqrt{(h_1-1)^2+(h_2-2)^2}\frac{\frac{1}{(h_1-1)^2+(h_2-2)^2}}{e^{\frac{1}{(h_1-1)^2+(h_2-2)^2}}}=0}\)
zatem funkcja jest różniczkowalna w punkcie (1,2)

[eloar]

dlaczego skorzystamy z granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to\infty}\frac{t}{e^t}=0?}\)

Ja sie w tym nie orientuje niestety...