Asymptoty

[bombel87]

Znalezc asymptoty:
1)\(\displaystyle{ f(x)=2x + \frac{2}{x}}\)
2)\(\displaystyle{ f(x)=\frac{lnx}{x}}\)
3)\(\displaystyle{ f(x)=xe^{-x}}\)

[soku11]

1)
\(\displaystyle{ f(x)=2\left( \frac{x^2+1}{x} \right)\quad D_{f}=R\backslash\{0\} \\
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\left[ \frac{1}{0^-} \right]=-\infty \\
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\left[ \frac{1}{0^+} \right]=+\infty \\
x=0\ \ pionowa\\
\\
\lim_{x\to-\infty}2\cdot \frac{x+\frac{1}{x}}{1}=-\infty \\
\lim_{x\to+\infty}2\cdot \frac{x+\frac{1}{x}}{1}=+\infty \\
\\
y=ax+b\\
a=\lim_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x}=
\lim_{x\to\pm\infty} 2\cdot \frac{x^2+1}{x^2}=2\\
b=\lim_{x\to\pm\infty}[ f(x)-ax]=
\lim_{x\to\pm\infty} ft(\frac{2x^2+2}{x}-2x\right)=
\lim_{x\to\pm\infty} \frac{2}{x}=0\\
y=2x\ \ ukosna}\)

Dwa pozostale analogicznie POZDRO

[bombel87]

A mógłbyś rozwiązać pozostałe 2 zadania bo nie jestem ich pewien jak maja byc liczone...

[soku11]

2)
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{lnx}{x}\quad D_{f}=\mathbb{R}^+\\
\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\\
\\
\lim_{x\to +\infty}f(x)=0\\
y=0\ \rightarrow\ pozioma}\)

Tak wiec istnieje tylko jedna asymptota.

3)
\(\displaystyle{ f(x)=xe^{-x}\quad D_{f}=\mathbb{R} \\
\lim_{x\to-\infty} [-\infty\cdot +\infty]=-\infty \\
\lim_{x\to+\infty} \frac{x}{e^x}=H=
\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{e^x}=\left[ \frac{1}{\infty}\right]=0 \\
y=0\ \rightarrow\ pozioma\\
a=\lim_{x\to\pm} e^{-x}\\}\)

Oczywiscie w tym ostatnim mamy rozne granice w + i - nieskonczonosci, wiec brak ukosnej.

Prosze modkow o sprawdzenie tych rozwiazan, gdyz byly pisane 'na szybkiego' bez zbednych kombinacji itp POZDRO