policzyć max i min lokalne

sporny · Post autor: **sporny** » 17 wrz 2007, o 18:31

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2 \mathbb{R},}\) \(\displaystyle{ f(x,y)= x^2+2xy+y}\)
Znaleźć jej najmniejszą i największą wartość na zbiorze \(\displaystyle{ [-1,1]\times [-1,1]}\)

Poprawiłem nieco zapis.
max

bolo · Post autor: **bolo** » 17 wrz 2007, o 18:52

Ten temat powinien nieco rozjaśnić problem:

https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=32350

sporny · Post autor: **sporny** » 17 wrz 2007, o 18:59

nie do konca mi rozjasnia... tu jest troche inna sytuacja. moglbys mi pomoc i rozw???

bolo · Post autor: **bolo** » 17 wrz 2007, o 19:31

Inna, bo inna funkcja i inny obszar ograniczający. Co konkretnie sprawia problem?

sporny · Post autor: **sporny** » 17 wrz 2007, o 20:03

mam policzone min i max po brzegach funkcji. problem to obl min i max w podanym zakresie

bolo · Post autor: **bolo** » 17 wrz 2007, o 20:21

Wypisz punkty z obrzeża obszaru, które wyliczyłeś.

Następnie należy rozwiązać układ równań z pochodnymi cząstkowymi:

\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=0\end{cases}}\)

Póki co jeszcze nie patrz na ten zakres, poszukaj par punktów będących rozwiązaniem powyższego układu. Jak to zrobisz, będziemy działać dalej.

sporny · Post autor: **sporny** » 17 wrz 2007, o 20:27

ale druga pochodna po x nie wynosi 0 tylko 2

bolo · Post autor: **bolo** » 17 wrz 2007, o 20:31

Mój błąd - miałem na myśli pierwsze pochodne, drugie pojawią się później Mimo to, dobrze że je obliczyłeś.

Skorygowane.

sporny · Post autor: **sporny** » 17 wrz 2007, o 20:50

no ale co dalej z tymi pochodnymi

bolo · Post autor: **bolo** » 17 wrz 2007, o 22:30

Ehh...

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=2x+2y=2(x+y) \\ \frac{\partial f}{\partial y}=2x+1}\)

Przyrównujemy do \(\displaystyle{ 0}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=0\end{cases} \\ \begin{cases}2(x+y)=0 \\ 2x+1=0\end{cases} \\ \begin{cases}x=-\frac{1}{2} \\ y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Czyli mamy jeden punkt: \(\displaystyle{ P=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}\), znajduje się on wewnątrz zadanego obszaru. Teraz trzeba sprawdzić, czy spełnia on warunek:
\(\displaystyle{ \left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\right)_{(x_{0},y_{0})}\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\right)_{(x_{0},y_{0})}-\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\right)^{2}_{(x_{0},y_{0})}>0.}\)

Jeśli tak, to w tym punkcie znajduje się jakieś ekstremum, a jakie to wyjaśni znak drugiej pochodnej.

sporny · Post autor: **sporny** » 17 wrz 2007, o 23:57

ok to już mam, drugie pochodne mi wyszły:
f'x=2
f'y=0
f'xy=2
policzyłem nierówność tą na sprawdzenie czy jest ekstremum lokalne wychodzi mi mniejsze od zera, czyli nie ma ekstremum w tym punkcie tak?

jesli tak co dalej...

mam już policzone min i max na brzegach....wychodzi 4 i -2

co dalej...

bolo · Post autor: **bolo** » 18 wrz 2007, o 00:04

Owszem, w wyliczonym wcześniej punkcie nie ma ekstremum, ten punkt był tylko "podejrzany" o możliwe istnienie. Podsumowując: w podanym przedziale funkcja \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wartość minimalną w punkcie \(\displaystyle{ A=(1,-1)}\) (i wynosi \(\displaystyle{ -2}\)) oraz maksymalną w punkcie \(\displaystyle{ B=(1,1)}\) (i wynosi \(\displaystyle{ 4}\)).

sporny · Post autor: **sporny** » 18 wrz 2007, o 00:13

i nic więcej nie trzeba liczyć.....

tak miałem zrobione, ale wykładowczyni chciała jeszcze jakies ekstrema...żeby policzyć...

bolo · Post autor: **bolo** » 18 wrz 2007, o 00:15

W tym przypadku już pokazałeś, że w punkcie stacjonarnym nie ma ekstremum.

sporny · Post autor: **sporny** » 18 wrz 2007, o 00:40

wielkie wielkie dzięki......