Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich

[Skynet]

Ale na podstawie kryterium porównawczego można chyba stwierdzić że szereg wyjściowy jest zbieżny? Czy coś jeszcze trzeba zrobić?

[Lider_M]

Musiałbyś jeszcze pokazać, że szereg \(\displaystyle{ \sum\frac{1+2n}{n2^n}}\) jest zbieżny.
A ty pokazałeś tylko, że szereg ten spełnia warunek konieczny zbieżności szeregów.

[max]

Żeby w ten sposób posłużyć się kryterium porównawczym musisz jeszcze pokazać, że szereg z którym porównujesz jest zbieżny (pokazałeś tylko, że spełnia warunek konieczny, ale to za mało).

[Skynet]

Wykazałem że d'Alemberta że jest zbieżny.

I mam takie jeszcze pytanie. Jeśli pewien szereg ograniczyłem odpowiednio z dwóch stron i obliczyłem granice tych skrajnych wyrazów ogólnych i wyszły 3 i 5 czyli szereg między nimi zawarty jest rozbieżny bo nie spełnia warunku koniecznego tak? Bo granica jego wyrazu ogólnego zawiera sie między 3 i 5. Dobrze myślę?

[max]

Jak na razie, to policzyłeś tylko granicę wyrazu ogólnego w nieskończoności... Ale rzeczywiście jest zbieżny i da się to pokazać z 'd'Alemberta'

[ Dodano: 17 Września 2007, 19:49 ]
Jeśli ograniczyłeś wyraz ogólny tego szeregu i wykazałeś, że zero nie zawiera się między granicami tych ograniczeń, to szereg nie spełnia warunku koniecznego. (ale ta granica nie musi się zawierać między ograniczeniami, bo może w ogóle nie istnieć)

[Skynet]

Mam problem jeszcze z takimi dwoma przykładami:
- \(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=1}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}}\)
- \(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=1}\frac{n^{3}}{n^{4}+arctg(n!)}}\)

W pierwszym przykładzie należałoby chyba skorzystać z Cauchy'ego.
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} } = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}}\) - zbieżny

A jak na razie na drugi przykład nie mam pomysłu.

[max]

Wystarczy skorzystać z ograniczoności funkcji \(\displaystyle{ \arctan}\), np ponieważ dla każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\) jest \(\displaystyle{ \arctan x < \frac{\pi}{2}}\), to:
\(\displaystyle{ \frac{n^{3}}{n^{4} + \arctan n!} > \frac{n^{3}}{n^{4} + \frac{\pi}{2}} > \frac{n^{3}}{2n^{4}} = \frac{1}{2n}}\)
a szereg o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ \frac{1}{2n}}\) jest rozbieżny.

[Skynet]

Z szeregami o wyrazie ogólnym
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{n}}}\)
jest tak że dla
\(\displaystyle{ \circ\ 0 < n \leqslant 1}\) jest rozbieżny
\(\displaystyle{ \circ\ n > 1}\) zbieżny
Dobrze mówię?

[max]

Jeśli w tych nierównościach zastąpić \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ |x|}\), to tak (jest to zwykły szereg geometryczny)... ewentualnie jeśli chodziło Ci o taki szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x}}}\)
to będzie on zbieżny dla \(\displaystyle{ x > 1}\) i rozbieżny dla \(\displaystyle{ x \leqslant 1}\) (np kryterium całkowe).