wykorzystując wzór oblicz sumę

[yog18]

wykorzystując równość \(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+1)}= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}}\), oblicz sumę \(\displaystyle{ \frac{1}{10\cdot11} + \frac{1}{11\cdot12} + \frac{1}{12\cdot13}+ ... + \frac{1}{99\cdot100}}\)

mam z tym takie problem że nie wiem jak wykorzystać ten wzór można.... i jest podobne zadanie tylko że bez informacji żeby wykorzystać ten sam wzór... a mianowicie

Oblicz sumę \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt1+\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2+\sqrt3} +....+ \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}}\)

_____________
Nie ładniej to wygląda z użyciem TeXa? Przynajmniej jednoznacznie...
jasny

[florek177]

\(\displaystyle{ \frac{1}{{10} {\cdot}11} = \frac{1}{10 {\cdot}(10 + 1)}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{11} }}\)

[Tristan]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{1}{ 10 11}= \frac{1}{10} - \frac{1}{11} ; \frac{1}{11 12}= \frac{1}{11} - \frac{1}{12} itd.}\), więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ 10 11} + \frac{1}{ 11 12} +... + \frac{1}{99 100}= (\frac{1}{10} - \frac{1}{11} )+ (\frac{1}{11} - \frac{1}{12}) +...+( \frac{1}{98 } - \frac{1}{99})+( \frac{1}{99} - \frac{1}{100})=\frac{1}{10} - \frac{1}{100}=\frac{10}{100} - \frac{1}{100}=\frac{9}{100}}\)
A co do drugiego przykładu, to zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1}+ \sqrt{2} }= \frac{1}{ \sqrt{2} + \sqrt{1} }= \frac{ \sqrt{2} - \sqrt{1} }{ 2-1}= \sqrt{2} - \sqrt{1}}\). Podobnie uwymierniając mianowniki kolejnych ułamków znów otrzymasz sumę, w której ostanie Ci się pierwszy i ostatni wyraz.

[yog18]

mam tylko jedno pytanie ... bo nie rozumiem przejścia do 1/10-1/100 ... bo dlaczego równe to jest poprzedniemu równaniu...

[florek177]

Jak pominiesz nawiasy i uwzględnisz znaki, to wszystkie wyrazy - poza skrajnymi - zredukują się.