Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich

[Skynet]

Żeby nie zakładać nowego tematu zapytam się tutaj.
Jak zbadać zbieżność tego szeregu?

\(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=3} \frac{ln \ n}{n^{2}}}\)

Mimo wszystko następnym razem załóż nowy temat
max

[max]

Kryterium porównawcze z szeregiem o wyrazie ogólnym:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{s}}}\), gdzie \(\displaystyle{ 1< s < 2}\) rozstrzyga - zbieżny.

[Skynet]

Nie rozumiem. Chodzi Ci aby w ten sposób ograniczyć wyjściowy szereg czy jak?

[max]

Tak, ponieważ dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) będzie:
\(\displaystyle{ \frac{\ln n}{n^{2}} < \frac{1}{n^{s}}}\)

Jak chcesz inaczej, to możesz skorzystać z kryterium Raabego.

[Skynet]

No ale dla s = 2 zachodzi sprzeczność bo ln n > 1 dla n > 3.

[max]

Dlatego nierówność jest ostra, więc nie może być \(\displaystyle{ s = 2}\)

[Emiel Regis]

no ale max z lewej mianownik bedziesz miał mniejszy, licznik wiekszy niz z prawej, no to ułamek tym bardziej wiekszy...

[max]

Mianownik będzie większy.

[Emiel Regis]

a słusznie słusznie, zwracam honor, będę uważniej czytał przedział do jakiego nalezy s; )

[Skynet]

A taki przypadek?

\(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=1}n\frac{3^{n}+2^{n}}{4^{n}+2^{n}}}\)

[max]

Tu wystarczy kryterium d'Alemberta, albo Cauchy'ego (zbieżny).

[Skynet]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}= \lim_{n\to } \left(\frac{n+1}{n}\times\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{3^{n}+2^{n}}\times\frac{4^{n}+2^{n}}{4^{n+1}+2^{n+1}}\right)}\)

Otrzymuję coś takiego i nie wiem za bardzo co dalej zrobić zwłaszcza że pierwszy człon jest większy od 1 drugi podobnie i trzeci mniejszy od 1.

[max]

Pierwszy czynnik zbiega do \(\displaystyle{ 1}\), drugi do \(\displaystyle{ 3}\) a trzeci do \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)...

[Skynet]

A czy ten przykład rozwiązałem poprawnie?

\(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=1}\frac{ln(1+2n)}{n2^{n}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ln(1+2n)}{n2^{n}}\leqslant\frac{1+2n}{n2^{n}}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \left(\frac{1+2n}{n2^{n}} \right)=\lim_{n\to } \left(\frac{\frac{1}{n}+2}{2^{n}} \right)=0}\)

zbieżny

[max]

Wykazałeś tylko, że ten szereg spełnia warunek konieczny zbieżności.