3. Udowodnić, że dla każdego \(\displaystyle{ n N}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k F_k=n F_n_+_2-F_n_+_3+2}\)
4. Udowodnić, że pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty \(\displaystyle{ A=(0;0), B=(F_n_1; F_n), C=(F_n; F_n_+_1)}\)
jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
Ostatnio zmieniony 17 wrz 2007, o 18:00 przez kloppix, łącznie zmieniany 1 raz.
Ad 2:
1. Spr. dla \(\displaystyle{ n=1}\): \(\displaystyle{ L= F_{2}^2=1^2=1 ; P= F_{1}F_{3} +(-1)^1=1 2 -1=1 \\ L=P}\)
2. Zał. ind.:\(\displaystyle{ F_{k+1}^2= F_{k} F_{k+2} +(-1)^k}\)
Teza ind.: \(\displaystyle{ F_{k+2}^2=F_{k+1} F_{k+3} +(-1)^{k+1}}\)
D-d: \(\displaystyle{ F_{k+1} F_{k+3} + (-1)^{k+1} = F_{k+1} (F_{k+2} + F_{k+1}) +(-1)^{k+1} = F_{k+1} F_{k+2} +F_{k+1}^2 +(-1)^{k+1} = F_{k+1} F_{k+2} +F_{k} F_{k+2} +(-1)^k + (-1)^{k+1} = F_{k+2}(F_{k+1} +F_{k})+(-1)^{k}[1+(-1) ] =F_{k+2} F_{k+2} + (-1)^k 0 =F_{k+2}^2}\)
3. Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór prawdziwy dla każdej dodatniej liczby naturalnej.
Ad 3:
1. Spr. dla \(\displaystyle{ n=1}\): \(\displaystyle{ L=1 F_{1}=1 ; P=1 F_{3} - F_{4} +2=2-3+2=1 \\ L=P}\)
2. Zał. ind.: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^m k F_{k}=m F_{m+2} - F_{m+3} +2}\)
Teza ind.: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{m+1} k F_{k}=(m+1) F_{m+3} - F_{m+4} +2}\)
D-d: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{m+1} k F_{k} = \sum_{k=1}^m k F_{k} + (m+1) F_{m+1}= m F_{m+2} - F_{m+3} +2 +mF_{m+1} +F_{m+1}=m(F_{m+2} F_{m+1})+F_{m+1} - F_{m+3} +2= m F_{m+3} +F_{m+1} - F_{m+3} +2= (m+1) F_{m+3} +F_{m+1} - 2 F_{m+3} +2= (m+1)F_{m+3} +F_{m+1} +F_{m+2} - F_{m+2} - 2F_{m+3} +2= (m+1)F_{m+3} +F_{m+3} - F_{m+2} - 2F_{m+3} +2= (m+1) F_{m+3} - F_{m+2} - F_{m+3} +2= (m+1)F_{m+3} - F_{m+4} +2}\)
3. Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór prawdziwy dla każdej dodatniej liczby naturalnej.
Ad 4:
Skorzystam tutaj z twierdzenia, które orzeka:
Jeśli \(\displaystyle{ \vec{u}=[u_{x}, u_{y}]}\) i \(\displaystyle{ vec{v}= [v_{x}, v_{y}}\) są wektorami wyznaczonymi przez dwie rózne pary wierzchołków trójkąta, to pole tego trójkąta wyraża się wzorem \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} | u_{x} v_{y} - u_{y} v_{x} |}\).
W naszym przypadku \(\displaystyle{ \vec{u}=[F_{n-1}, - F_{n}], \vec{v}= [ F_{n}, - F_{n+1}]}\), więc \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}| - F_{n-1} F_{n+1} +F_{n}^2 |= \frac{1}{2} |F_{n}^2 -F_{n-1}F_{n+1}|= \frac{1}{2} | (-1)^{n-1} |= \frac{1}{2} 1= \frac{1}{2}}\)
Skorzystałem tutaj z wzoru drugiego, udowodnionego wcześniej indukcyjnie.
