Granica z całki

[mandala]

Czy pomógłby mi ktoś rozwiązać taki problemik :


\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty }\int\limits_{0}^{n}x(e^{-x}+e^{-nx}dx}\)



I napisać z czego i na jakiej podstawie korzystał?

Z góry wielkie dzięki

[ Dodano: 17 Września 2007, 17:12 ]
Oczywiście przed dx jest taki nawias ) .

[max]

Przy Twojej wiadomości powinien być taki przycisk: , myślę, że warto byłoby z niego skorzystać w sprawie zagubionego nawiasu

A ta granica nie powinna być przypadkiem przy \(\displaystyle{ n\to }\) ?

[mandala]

Tak,powinno być \(\displaystyle{ n\to\infty}\).

Dziękuję za dobrą radę .

[ Komentarz dodany przez: luka52: 17 Września 2007, 17:53 ]
Szkoda, że z niej nie skorzystałaś ??:

[scyth]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to }\int\limits_{0}^{n}x(e^{-x}+e^{-nx})dx = \int\limits_0^{\infty} xe^{-x} dx + \lim_{n \to }\int\limits_{0}^{n}xe^{-nx}dx}\)

Pierwsza całka:
\(\displaystyle{ \int\limits_0^{\infty} xe^{-x} dx = \left[e^{-x}(-x-1) \right]_0^{\infty} = 1}\)

Druga całka:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\int\limits_{0}^{n}xe^{-nx}dx = \\
u=x, \ v'=e^{-nx} \\
u'=1, \ v=\frac{-e^{-nx}}{n} \\
= \lim_{n \to\infty } \left[\frac{-xe^{-nx}}{n} \right]_0^{n} + \lim_{n \to } \int\limits_{0}^{n}\frac{e^{-nx}}{n} dx = \\
= 0 + \lim_{n \to\infty } \left[\frac{-xe^{-nx}}{n^2} \right]_0^{n} = 0}\)

Czyli
\(\displaystyle{ \lim_{n \to }\int\limits_{0}^{n}x(e^{-x}+e^{-nx})dx = 1}\)