całki do rozwiązania

[elcia_ch]

parę całek do rozwiązania:

\(\displaystyle{ \int x\cdot \sin x\cdot \cos x dx}\)

\(\displaystyle{ \int\ x^{3}\cdot e^{\frac{-3}{x}}dx}\)

\(\displaystyle{ \int\ x^{2}\cdot e^{3x} dx}\)

\(\displaystyle{ \int\ x^{2}\cdot \arctan 3x dx}\)

[jasny]

1.
Weźmy całkę \(\displaystyle{ I_1=\int\sin{x}\cos{x}dx}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ t=\sin{x}}\), mamy \(\displaystyle{ dt=\cos{x}dx}\).
Zatem \(\displaystyle{ I_1=\int{tdt}=\frac{1}{2}t^2=\frac{1}{2}\sin^2x}\)

Główną całkę policzymy przez części:
\(\displaystyle{ u=x,\;dv=\sin{x}\cos{x}dx}\)
\(\displaystyle{ du=dx,\;v=\frac{1}{2}\sin^2x}\)
\(\displaystyle{ I=\frac{x}{2}\sin^2x-\frac{1}{2}\int\sin^2xdx= \frac{x}{2}\sin^2x-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin2x)=\frac{x}{2}\sin2x-\frac{x}{4}+\frac{1}{8}\sin2x+C}\)

[ Dodano: 17 Września 2007, 17:10 ]
4. Przez części
\(\displaystyle{ u=arc\tan3x,\;dv=x^2dx}\)
\(\displaystyle{ du=\frac{3}{1+9x^2}dx,\;v=\frac{1}{3}x^3}\)

\(\displaystyle{ I=\frac{1}{3}x^3arc\tan3x-\int\frac{x^3}{1+9x^2}dx}\)
\(\displaystyle{ I_1=\int\frac{x^3}{1+9x^2}dx=\int\frac{\frac{x}{9}(1+9x^2)-\frac{x}{9}}{1+9x^2}dx= \frac{1}{9}\int{xdx}-\frac{1}{162}\int\frac{18xdx}{1+9x^2}= \frac{1}{18}x^2-\frac{1}{162}\ln(1+9x^2)}\)

\(\displaystyle{ I=\frac{1}{3}x^3arc\tan3x-\frac{x^2}{18}+\frac{1}{162}\ln(1+9x^2)+C}\)

[ Dodano: 17 Września 2007, 17:38 ]
3. Dwa razy przez części
\(\displaystyle{ I=\int{x^2e^{3x}dx}}\)
\(\displaystyle{ u_1=x^2,\;dv_1=e^{3x}dx}\)
\(\displaystyle{ du_1=2xdx,\;v_1=\frac{1}{3}e^{3x}}\)
\(\displaystyle{ I=\frac{1}{3}x^2e^{3x}-\frac{2}{3}\int{xe^{3x}dx}}\)

\(\displaystyle{ I_1=\int{xe^{3x}dx}}\)
\(\displaystyle{ u_2=x,\;dv_2=e^{3x}dx}\)
\(\displaystyle{ du_2=dx,\;v_2=\frac{1}{3}e^{3x}}\)
\(\displaystyle{ I_1=\frac{1}{3}xe^{3x}-\frac{1}{3}\int{e^{3x}dx}= \frac{1}{3}xe^{3x}-\frac{1}{9}e^{3x}}\)

\(\displaystyle{ I=\frac{1}{3}x^2e^{3x}-\frac{2}{3}(\frac{1}{3}xe^{3x}-\frac{1}{9}e^{3x})= \frac{1}{3}x^2e^{3x}-\frac{2}{9}xe^{3x}+\frac{2}{27}e^{3x}= \frac{1}{27}e^{3x}(9x^2-6x+2)+C}\)