rozwiąż równanie trygonometryczne

[Vixy]

\(\displaystyle{ sin\frac{x}{2}=sin2x}\)

[Tristan]

Zauważ, że\(\displaystyle{ \sin 2x= 2 \sin x \cos x = 4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \cos x}\).
Czyli mamy równanie:
\(\displaystyle{ \sin \frac{x}{2}= \sin 2x \\ \sin \frac{x}{2} = 4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \cos x \\ \sin \frac{x}{2}=0 1=4 \cos \frac{x}{2} \cos x}\)
Z pierwszym równaniem już sobie poradzisz. Co do drugiego, to mamy \(\displaystyle{ \cos \frac{x}{2} \cos x= \frac{1}{4}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \cos x= 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1}\), to otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ 2 \cos^3 \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} - \frac{1}{4}=0}\). Niech \(\displaystyle{ \cos \frac{x}{2}= z, z }\). Otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ 2z^3 - z- \frac{1}{4}=0}\), czyli \(\displaystyle{ 8z^3 - 4z - 1=0}\). Korzystając z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych dochodzimy do tego, że \(\displaystyle{ z= - \frac{1}{2}}\). Teraz już poradzisz sobie ze znalezieniem pozostałych dwóch i z dokończeniem rozwiązania, bo pozostają same obliczenia.

[Lider_M]

oj oj, lepiej będzie od razu tak:
\(\displaystyle{ \frac{x}{2}=2x+2k\pi\vee\frac{x}{2}=\pi-2x+2k\pi}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\)

Albo na jedną stronę i wzór na różnicę sinusów

[Vixy]

ja korzystałam ze wzoru na różnice sinusow ale cos mi nie wyszlo