Zbieżność całki niewałściwej.

[Skynet]

Zbadać zbieżność całki niewłaściwej:
\(\displaystyle{ \int\limits_{2}^{+\infty}\frac{1+ln(3x)}{9x^{2}}dx}\)
Wydaje mi się że należy ograniczyć funkcję podcałkową i skorzystać z kryterium porównawczego, ale nie przychodzi mi żaden pomysł aby ograniczyć tę funkcję.
Proszę o pomoc.

[scyth]

Obliczmy całkę nieoznaczoną:
\(\displaystyle{ \int \frac{1+\ln(3x)}{9x^{2}}dx}\)
poprzez podstawienie:
\(\displaystyle{ u=1+\ln(3x), \ v'=\frac{1}{9x^2} \\
u'=\frac{1}{x}, \ v=\frac{-1}{9x}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \int \frac{1+\ln(3x)}{9x^{2}}dx = \frac{-(1+\ln(3x))}{9x}
+\int\frac{1}{9x^2}=\frac{-(2+\ln(3x))}{9x}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}=0}\), to możemy obliczyć całkę niewłaściwą:
\(\displaystyle{ \int\limits_{2}^{+\infty}\frac{1+\ln(3x)}{9x^{2}}dx = \left[\frac{-(2+\ln(3x))}{9x} \right]_{2}^{+\infty} = \frac{2+\ln(6)}{18}}\)

[Sir George]

Hmm, zamiast liczyć całkę, do zbadania zbieżności wystarczy ograniczenie \(\displaystyle{ 0\le1+\log(3x)\le2\sqrt{3x}}\)

A powyższą nierówność (tę po prawej stronie... ) pokazuje się łatwo:
\(\displaystyle{ 1+\log y\le y\ \ \log y^2=2\log y\le2y-2\ \ \log3x\le2\sqrt{3x}-2}\)