Funkcja Lagrange'a

[magicstyle]

mam takie pytanie zakladajac ze mam do okreslenia min i max funkcji z
\(\displaystyle{ z = x^2 - y^2}\) przy warunku \(\displaystyle{ x^2+y^2-1=0}\)
no i pozniej tworze f.lagrange'a
\(\displaystyle{ L(x,y,\lambda) = x^2 - y^2 + \lambda (x^2+y^2-1)}\)

Pozniej licze tego pochodne

\(\displaystyle{ L'_x=2x+2x\lambda}\)
\(\displaystyle{ L'_y=-2y+2y\lambda}\)
\(\displaystyle{ L'_\lambda=x^2+y^2-1}\)

I po wyliczeniu i podstawieniu x=0 oraz y=0(bo takie mi wyszly) pod ograniczenie wyszly mi nastepujace punkty
\(\displaystyle{ P_1(-1,0)}\) \(\displaystyle{ P_2(1,0)}\) dla \lambda=-1 oraz \(\displaystyle{ P_3(0,-1)}\) \(\displaystyle{ P_4(0,1)}\) dla\(\displaystyle{ \lambda=1}\)

No i teraz teoretycznie powinienem okreslic czy heksjany dla tych punkotw sa dodatnie czy ujemne co pozwolilo by mi okreslicz czy to max czy min funkcji

lecz gdy policze 2 pochodne i stworze ten ogolny heksjan wychodzi cos takiego

|0 2x 2y|
|1 2 0|
|1 0 -2|

a z tego nie moge przeciez okreslic czy heksjan jest dodatni czy ujemny
prosze o jakies wskazowki na temat tego oraz o przejzenie rozwiazania ktore podalem przed dojsciem do heksjanu bo byc moze tam gdzies kryje sie jakis blad.

[Emiel Regis]

1. Po pierwsze primo to wyznacznik ów nazywa się hesjanem nie heksjanem.
2. Po drugie primo macierz Hessego którą otrzymałes nie jest hermitowska więc musiałeś coś namieszać w rachunkach.
3. Po trzecie primo z metody mnożników Lagrange'a korzysta się raczej wtedy kiedy nie idzie rozwikłać więzów... a u nas można łatwo powyznaczać co trzeba i mieć "tradycyjne" ekstrema.
Ja bym to zrobił tak:
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^2-y^2 \\
x^2+y^2-1=0 => y^2=1-x^2 \\
f(x,1-x^2)=x^2-1+x^2 \\
f(x)=2x^2-1}\)

[magicstyle]

sory zle wpisalem hesjan

|0 2x 2y|
|2x 2 0|
|2y 0 -2|

to ze mozna rozwiazac ten przyklad 2 sposobem wiem ale mi chodzi wlasnie o lagrange'a

[Emiel Regis]

heh, kombajnem chcesz kosić trawnik w ogródku?
No ale jeśli jesteś uparty to napisz jak liczysz te pochodne, bo macierz to chyba z kosmosu wziąłeś.

[magicstyle]

chodzi o zasade nie o ten przyklad
wiem ze mozna rozwiazac go duzo prosciej poprzez podstawienie ale jak dostaje polecenie uzyc f.lagrangea to nie moge sobie pozwolic na jakas dowolnosc

a pochodne to

\(\displaystyle{ L''_{\lambda\lambda}=0}\)
\(\displaystyle{ L''_{\lambda x}=2x}\)
\(\displaystyle{ L''_{\lambda y}=2y}\)
\(\displaystyle{ L''_{x x}=2}\)
\(\displaystyle{ L''_{y y}=-2}\)
\(\displaystyle{ L''_{x \lambda}=2x}\)
\(\displaystyle{ L''_{y \lambda}=2y}\)
\(\displaystyle{ L''_{x y}=0}\)
\(\displaystyle{ L''_{y x}=0}\)

stad wlasnie wziely mi sie te pochodne inna sprawa ze przeczytalem gdzies ze mozna sprawdzic max min przez wyznacznik tej maciezy i w tedy wychodzi

[Emiel Regis]

Tak, po wyznaczniku wtedy poznajemy, jeśli jest on większy od zera to wtedy jest maksimum, jeśli mniejszy od zera to minimum.

Co do pochodnych to ja mam tak:
\(\displaystyle{ L_{xx}=2+2 \lambda \\
L_{xy}=0 \\
L_{x \lambda}= \lambda x \\
L_{yx}=0 \\
L_{yy}=-2+2 \lambda \\
L_{y \lambda}=2y \\
L_{\lambda x}=2x \\
L_{\lambda y}=2y \\
L_{\lambda \lambda}=0}\)
(w tej kolejności najlepiej je wpisywać wierszami w macierz)

Tylko niestety wychodzi mi sprzeczny układ warunków koniecznych. Bo masz coś takiego:
\(\displaystyle{ L_x=0 L_y=0 L_{\lambda}=0}\)

Bo zwróć uwagę że wyliczone przez Ciebie x=0 oraz y=0 nie spełnia warunku...