Dlugosc luku krzywej

[moonia87]

mam problem z obliczeniem dlugosci luku krzywej \(\displaystyle{ \ln ( \sin x ), \ \ x ft[ \frac{\pi}{3} ,\frac{2\pi}{3} \right]}\)

Poprawiłem zapis. luka52

[luka52]

No, ale z czym jest problem
Mamy wzór:
\(\displaystyle{ L = t\limits_0^L \, \mbox{d}L = t\limits_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + y'^2} \, }\)
W naszym przypadku y=ln(sin x), więc liczysz pochodną, podstawiasz do wzoru i całkujesz.

[moonia87]

problem w tym ze jak wszytsko obliczam to mi sie wynik zeruje a powninno wyjsc ln3

[luka52]

W takim razie pokaż jak liczysz.

[moonia87]

obliczam pochodna z ln(sinx) a pochodna to \(\displaystyle{ \frac{cosx}{sinx}}\) podstawiam do wzoru i wychodzi ze calka z tego to lnsinx

[luka52]

Skoro \(\displaystyle{ \left( \ln \sin x \right)' = \frac{\cos x}{\sin x}}\), to jakim cudem pojawia Ci się logarytm
Podstawiasz to do wzoru i otrzymasz:
\(\displaystyle{ \int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2}{3} \pi} \sqrt{1 + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}} \, = t\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2}{3} \pi} \frac{\mbox{d}x}{|\sin x|} = \ldots}\)

[moonia87]

no zgadza sie a ile jest \(\displaystyle{ \int}\) \(\displaystyle{ \frac{dx}{|sinx|}}\)

[luka52]

W przedziale \(\displaystyle{ \left[ \frac{\pi}{3} , \frac{2}{3} \pi \right]}\) jest \(\displaystyle{ |\sin x | = \sin x}\), zatem:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sin x} = t \frac{dx}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = t \frac{ \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{2}} }{2 \tan \frac{x}{2}} = t \frac{d ft( \tan \frac{x}{2} \right) }{\tan \frac{x}{2}} = \ln ft| \tan \frac{x}{2} \right| + C}\)
Z oznaczoną już sobie chyba poradzisz?

[moonia87]

dzieki tak z podstawieniem sobie poradze