Witam. Mam problem z takim oto zadankiem.
Mam znaleźć postać trygonometryczną liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ z=\sin\alpha - i\cos\alpha}\)
Gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) spełnia nierówności \(\displaystyle{ 0 < < \frac{\pi}{2}}\)
Wiem, że:
\(\displaystyle{ x = \sin\alpha \\
y = - \cos\alpha \\
\\
|z|=\sqrt{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = 1\\
\begin{cases}
\sin\varphi = - \cos\alpha \\
\cos\varphi = \sin\alpha
\end{cases}}\)
Wiem też, że \(\displaystyle{ \varphi}\) ma postać \(\displaystyle{ \varphi = \frac{3}{2}\pi + }\), jednak nie wiem jak uzyskać taką postać proszę o pomoc.
Rind
Postać trygonometryczna - problem z argumentem
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Postać trygonometryczna - problem z argumentem
Może by ten układ równań pomnożyć stronami i skorzystać ze wzoru na sinus kąta podwojnego? Potem kiedy dwa sinusy są sobie równe już nie będzie problemem znaleźć
Postać trygonometryczna - problem z argumentem
Ale tutaj mam dwa różne kąty: \(\displaystyle{ \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi}\), które nie mają ze sobą nic wspólnego
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Postać trygonometryczna - problem z argumentem
A próbowałeś zrobić, co pisałem?
Pomnożyłeś ten układ stronami?
Otrzymałeś \(\displaystyle{ \sin 2\phi = \sin (-2\alpha)}\)?
Wiesz kiedy dwa sinusy są sobie równe?
Pomnożyłeś ten układ stronami?
Otrzymałeś \(\displaystyle{ \sin 2\phi = \sin (-2\alpha)}\)?
Wiesz kiedy dwa sinusy są sobie równe?
Postać trygonometryczna - problem z argumentem
Rogal, rozwiązałem to inaczej.
Narysowałem \(\displaystyle{ \sin\varphi}\) oraz \(\displaystyle{ -\cos\alpha}\), następnie
narysowałem \(\displaystyle{ \cos\varphi}\) oraz \(\displaystyle{ \sin\alpha}\), i się okazało, że w obydwu przypadkach funkcja z \(\displaystyle{ \varphi}\) jest zwykłym przesunięciem o \(\displaystyle{ \frac{3}{2}\pi}\), stąd taka wartość.
R.
Narysowałem \(\displaystyle{ \sin\varphi}\) oraz \(\displaystyle{ -\cos\alpha}\), następnie
narysowałem \(\displaystyle{ \cos\varphi}\) oraz \(\displaystyle{ \sin\alpha}\), i się okazało, że w obydwu przypadkach funkcja z \(\displaystyle{ \varphi}\) jest zwykłym przesunięciem o \(\displaystyle{ \frac{3}{2}\pi}\), stąd taka wartość.
R.
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Postać trygonometryczna - problem z argumentem
Rysunek jest dość kiepskim dowodem, ale powiedzmy, że dla funkcji trygonometrycznych byłby wystarczający
Postać trygonometryczna - problem z argumentem
Rogal, właśnie najlepsze w tym zadaniu jest to, że ono jest podobno na "3 linijki", więc nie sądzę, żeby trzeba było wykorzystywać tego typu wzory (na sinus podwójnego kąta), ale dzięki za odpowiedzi
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Postać trygonometryczna - problem z argumentem
No, to by się zgadzało. Pierwsza linijka - układ równań, druga - równanie z mojego posta wyżej powstałe z pomnożenia równań przez siebie, trzecie - rozwiązanie
Nie przesadzaj - wzór na sinus podwojony to nie jest wyższa matematyka tylko dla magów ósmego stopnia
Nie przesadzaj - wzór na sinus podwojony to nie jest wyższa matematyka tylko dla magów ósmego stopnia