wykaż,że ciąg jest rosnący

[marcin.p]

wykaz ze kazdy ciag jest rosnacy:
a)\(\displaystyle{ u_n=\frac{3n+1}{n+2}}\)
b)\(\displaystyle{ v_n=2^n}\)
c)\(\displaystyle{ c_n=\frac{5n+1}{2}}\)

[soku11]

a)
\(\displaystyle{ u_n=\frac{3n+1}{n+2} \\
u_{n+1}=\frac{3n+4}{n+3}\\
u_{n+1}-u_n=\frac{3n+4}{n+3}-\frac{3n+1}{n+2}=
\frac{(3n+4)(n+2)-(3n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}=\\
\frac{3n^2+10n+8-3n^2-10n-3}{(n+3)(n+2)}=
\frac{5}{(n+3)(n+2)}\\
\forall_{n\to\mathbb{N}}\quad (n+3)(n+2)>0\\
\frac{5}{(n+3)(n+2)}>0\\
u_{n+1}-u_n>0}\)


b)
\(\displaystyle{ v_n=2^n \\
v_{n+1}=2^{n+1}=2\cdot 2^n\\
v_{n+1}-v_n=2\cdot 2^n-2^n=2^n(2-1)=2^n\\
\forall_{n\in\mathbb{N}}\quad 2^n>0\\
v_{n+1}-v_n>0}\)

Czyli ciagi rosnace Ostatnie analogicznie. POZDRO

[marcin.p]

dzieki POZDRO ;]