Problem z pochodną

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
revell
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 15 wrz 2007, o 15:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 25 razy

Problem z pochodną

Post autor: revell »

Wiedząc że \(\displaystyle{ y=x^{2lnx}}\) wykazać że \(\displaystyle{ \frac {dy}{dx}=xln(ex^{2})}\).
Jak to zrobic?
Awatar użytkownika
max
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Problem z pochodną

Post autor: max »

\(\displaystyle{ y = x^{2\ln x} = e^{2\ln^{2}x}\\
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(e^{2\ln^{2}x}\right) =e^{2\ln^{2}x} \frac{d}{dx}\left(2\ln^{2}x\right) = x^{2\ln x}\cdot\frac{4\ln x}{x}}\)

czyli żądana równość nie jest tożsamością... (nie zachodzi np dla \(\displaystyle{ x = 1}\))
revell
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 15 wrz 2007, o 15:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 25 razy

Problem z pochodną

Post autor: revell »

W sumie ok, tyle że jestem pewien że to zadanie ma rozwiązanie...
Awatar użytkownika
max
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Problem z pochodną

Post autor: max »

Zależy co rozumiesz przez rozwiązanie...
Można też scałkować obie strony równości po \(\displaystyle{ x}\), wtedy dostaniemy:
\(\displaystyle{ y = t x\ln (ex^{2})\, dx \stackrel{t = x^{2}}{=}\frac{1}{2}\int \ln(et)\, dt =\\
= \frac{1}{2}\int (\ln t + 1)\, dt = \frac{t\ln t}{2} + C = x^{2}\ln x + C}\)

w związku z tym zastanawiam się, czy w treści zadania nie powinno być:
\(\displaystyle{ y = x^{2}\ln x}\)
revell
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 15 wrz 2007, o 15:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 25 razy

Problem z pochodną

Post autor: revell »

Jasne, masz racje. Mogłem sam upewnić się w tą stronę...
ODPOWIEDZ