dowodzenie podzielności przez 6

[katarzynkaaa90]

zadanie:
Wykaż, za pomoca indukcji matematycznej ze liczba \(\displaystyle{ n^3+5n}\) jest podzielna przez 6
z góry dziekuje;)

[luka52]

Spr. dla \(\displaystyle{ n_0 = 0}\)
\(\displaystyle{ 0^3 + 5 0 = 0}\)
a 0 dzieli się przez każdą liczbę (oprócz 0), stąd \(\displaystyle{ T(n_0 = 0)}\)

Zał. \(\displaystyle{ T(k): \ k^3 + 5k = 6p}\)
Teza \(\displaystyle{ T(k+1): \ (k+1)^3 + 5(k+1) = 6s}\)
Dowód \(\displaystyle{ L_T = (k+1)^3 + 5(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 5k + 5 =6p + 3k^3 + 3k + 6 = 6p + 3(k^2 + k + 2) = 6p + 3(k(k+1) + 2) = 6s = P_T}\)
Należy wspomnieć, że k(k+1) to iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych, z których jedna jest parzysta, zatem k(k+1) dzieli się przez 2, stąd również liczba k(k+1)+2 dzieli się przez 2 i 3(k(k+1) + 2) dzieli się przez 6.

[Piotr Rutkowski]

sprawdzamy dla n=1
założenie \(\displaystyle{ n^{3}+5n=6k}\)
dowód\(\displaystyle{ (n+1)^{3}+5(n+1)=n^{3}+3n^{2}+3n+1+5n+5=n^{3}+5n+6+3(n^{2}+n)=6(k+1)+3(n(n+1))=
6(k+1+s)=6m}\), gdzie \(\displaystyle{ s=\frac{n(n+1)}{2}}\)