Całki oznaczone - prośba o sprawdzenie

[likom]

Witam! Czy może ktoś sprawdzić czy dobrze wyliczyłem tą całke?
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}xe^{x+1}dx}\)


\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}xe^{x+1}dx=\frac{e^{2}}{4}}\)

Pozdrawiam

[luka52]

Pokaż jak liczysz, bo wynik jest zły.

[likom]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}xe^{x+1}dx=\int\left[\frac{x^2}{2}e^{x+1}\frac{x^2}{2}+c\right]_0^{1}=(\frac{e^2}{4}+c)-(c)=\frac{e^2}{4}}\)



i jeszcze jedno:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(x+1)e^xdx=\int\left[\frac{(x+1)^2}{2}+\frac{x^2}{2}+x+e^x+c\right]_0^{1}=\left[\frac{(1+1)^2}{2}+\frac{1^2}{2}+1+e+c\right]-\left[\frac{(0+1)^2}{2}+\frac{0^2}{2}+0+e^0+c\right]=(\frac{7}{2}+e+c)-(\frac{3}{2}+c)=2+e}\)


Nie wiem gdzie robię błąd. Czy może mi Pan to wytłumaczyć?

[luka52]

Nie bardzo widzę jakim sposobem została rozwiązana całka \(\displaystyle{ I = t x e^{x+1}\, dx}\)
Tą całkę należy scałkować przez części:
\(\displaystyle{ u = x , \quad dv = e^{x+1} \, dx\\
du = dx \, \quad v = e^{x+1}\\
I = x e^{x+1} - t e^{x+1} \, dx = e^{x+1}(x-1) + C}\)
Następnie obliczamy całkę oznaczoną:
\(\displaystyle{ e^{x+1}(x-1) \Big|_0^1 = e^2 0 - e (-1) = e}\)

W tej drugiej całce, to podejrzewam, że była ona rozwiązywana przez części, jednak obliczenia nie są poprawne.
Aby obliczyć \(\displaystyle{ J = t (x+1)e^x \, dx}\) najlepiej przyjąć takie części:
\(\displaystyle{ u = x+1, \quad dv = e^x \,dx}\)