Znaleźć sumę

[TS]

11.58 Znaleźć sumę

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}(3n+1)x^n}\)

odpowiedzią jest \(\displaystyle{ \frac{1-2x}{(1+x)^2}}\) przy |x|

[robin5hood]

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}(3n+1)x^n=3\sum_{n=0}^{\infty}nx^n+
\sum_{n=0}^{\infty}x^n}\)


\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}}\) ciag geometryczny nieskonczony o ilorazie x . Jest on zbieżny gdy |x|

[TS]

a suma \(\displaystyle{ nx^n}\)?
albo \(\displaystyle{ \frac{x^n}{n!}}\) (odp: \(\displaystyle{ -ln(x-1)}\)?
Tu jest jakaś metoda związana z całkami/różiczką..

[robin5hood]

zauwaz ze rózniczkując sumę
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}}\)

[TS]

ok, rozumiem juz. wielkei dzieki