Sześć granic funkcji

[natalialeszno]

Obliczyc nastepujace granice funkcji:

• \(\displaystyle{ \lim_{x\to 8}\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}}\)
• \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)-\sin(3x)}{\sin x}}\)
• \(\displaystyle{ \lim_{x\to }\left(\frac{3x-1}{3x+1}\right)^{2x-5}}\)
• \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}}\)
• \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{-}}\frac{2^{\frac{1}{x}}+3}{3^{\frac{1}{x}}+2}}\)
• \(\displaystyle{ \lim_{x\to 1^{+}}\frac{x}{2x+e^{\frac{1}{x-1}}}}\)

[soku11]

2.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)-\sin(3x)}{\sin x} =
\lim_{x\to 0}\left( \frac{\sin(5x)}{\sin(x)}-\frac{\sin(3x)}{\sin(x)} \right)=\\
\lim_{x\to 0}\left(\frac{5\cdot \sin(5x)}{5x}\cdot \frac{x}{\sin(x)} -3\cdot \frac{\sin(3x)}{3x}\cdot \frac{x}{\sin(x)}\right)=5\cdot 1\cdot 1-3\cdot 1\cdot 1=5-3=2}\)


3.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to }\left(\frac{3x-1}{3x+1}\right)^{2x-5} =
\lim_{x\to }\left(\frac{3x+1-2}{3x+1}\right)^{2x-5} =
\lim_{x\to }\left( 1+\frac{-2}{3x+1} \right)^{2x-5} =
\lim_{x\to }\left(\left( 1+\frac{-2}{3x+1} \right)^{\frac{3x+1}{-2}}\right)^{\frac{-2(2x-5)}{3x+1}} =
e^{-\frac{4}{3}}}\)


4.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} =H=
\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x} =1}\)


5.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{-}}\frac{2^{\frac{1}{x}}+3}{3^{\frac{1}{x}}+2} \\
\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty\\
\lim_{x\to 0^{-}}2^{\frac{1}{x}}=0\\
\lim_{x\to 0^{-}}\frac{2^{\frac{1}{x}}+3}{3^{\frac{1}{x}}+2} =\frac{0+3}{0+2}=\frac{3}{2}}\)

POZDRO

[Lider_M]

1. Skorzystanie ze wzorów \(\displaystyle{ a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}}\) oraz \(\displaystyle{ a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}}\)

2. tak jak soku11 albo podzielić licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ x}\)

3. Skorzystanie z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{\alpha}{x}\right)^{x}=e^{\alpha}}\)

4. Skorzystanie z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\left(1+f(x)\right)^{\frac{1}{f(x)}}=e}\) dla \(\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=0}\)
// soku11 ohh i po co hospitalizacja w tak banalnych przykładach ??:

5. Dla ułatwienia podstawienie \(\displaystyle{ x=\frac{1}{t}}\)

6. Badanie granic jednostronnych.

[natalialeszno]

Dziekuje bardzo za pomoc! Sama nigdy nie dalabym rady! pozdrawiam serdecznie

[bolo]

Lider_M - w 6 to już jest granica jednostronna.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1^{+}}\frac{x}{2x+e^{\frac{1}{x-1}}}=\left[\frac{1^{+}}{2^{+}+e^{\frac{1}{0^{+}}}}\right]=\left[\frac{1^{+}}{2^{+}+e^{\infty}}\right]=0}\)

Ad. 1.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 8}\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}= \lim_{x\to 8}\frac{\frac{9+2x-25}{\sqrt{9+2x}+5}}{\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}^{2}+2\sqrt[3]{x}+4}}= \lim_{x\to 8}\frac{\frac{2x-18}{\sqrt{9+2x}+5}}{\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}^{2}+2\sqrt[3]{x}+4}}=\\= 2\lim_{x\to 8}\frac{\sqrt[3]{x}^{2}+2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt{9+2x}+5}=\frac{12}{5}}\)

XВАТИТЬ

[Lider_M]

Lider_M - w 6 to już jest granica jednostronna.

A tak, drobna pomyłka, zdawało mi się, że granica była do \(\displaystyle{ 1}\)

[max]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} =H= \lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x} =1}\)

A skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ (\ln x)' = \frac{1}{x}}\) ?

[soku11]

Nie wiem, moze stad:
\(\displaystyle{ (log_ex)'=\frac{1}{xlne}=\frac{1}{x}}\)

Jesli chodzilo ci o cos innego to napisz bo ja innej metody nie znam POZDRO

[max]

Chodziło mi o wyprowadzenie tego wzoru, który powyżej napisałeś. Korzysta on z definicji pochodnej funkcji w punkcie i z tego, że:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1}\)
Wniosek z tego taki, że stosując do tej granicy regułę de l'Hospitala, przy liczeniu pochodnej licznika zakładamy, że:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1}\)
aby właśnie ten fakt wykazać, co jest logicznym błędem.

[soku11]

No tak, racja. Przepraszam za wprowadzenie w blad :/ POZDRO