\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sqrt{5}dx}{\sqrt{x^2+4x+9}}}\)
Prosze o opowiedz. Pozdro4all
Całka oznaczona
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Całka oznaczona
Przekształć trójmian w mianowniku do postaci \(\displaystyle{ (x + 2)^{2} + 5}\), podstaw \(\displaystyle{ \sqrt{5}\sinh t = x + 2}\) i masz całkę nieoznaczoną \(\displaystyle{ \ln\left(x + 2 + \sqrt{x^{2} + 4x + 9}\right)}\). Dalej wystarczy skorzystać z definicji całki niewłaściwej w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, + )}\).
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Całka oznaczona
Przykładowe rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{5}dx}{\sqrt{x^{2} + 4x + 9}} = t \frac{\sqrt{5}dx}{(x + 2)^{2} + 5}}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ \sqrt{5}\sinh t = x + 2}\), wtedy \(\displaystyle{ dx = \sqrt{5}\cosh t \, dt}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{5}dx}{\sqrt{(x + 2)^{2} + 5}} = t \frac{5\cosh t \, dt}{\sqrt{5\sinh^{2} t + 5}} = t\frac{5\cosh t \, dt}{\sqrt{5\cosh^{2} t}} =\\
= t \sqrt{5}dt = \sqrt{5}t + C = \sqrt{5}\mbox{ arsinh }\frac{x + 2}{\sqrt{5}} + C = \\
=\sqrt{5}\ln\left(\frac{x + 2}{\sqrt{5}} + \sqrt{\left(\frac{x + 2}{\sqrt{5}}\right)^{2} + 1}\right) + C =\\
= \sqrt{5}\ln (x + 2 + \sqrt{x^{2} + 4x + 9}) + C^{*}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sqrt{5}dx}{\sqrt{x^{2} + 4x + 9}} = \lim_{\substack{x\to +\infty\\ y\to -\infty}}\int\limits_{y}^{x} \frac{\sqrt{5}dx}{\sqrt{x^{2} + 4x + 9}} =\\
=\lim_{\substack{x\to +\infty\\ y\to -\infty}}\sqrt{5}\left(\ln (x + 2 + \sqrt{x^{2} + 4x + 9}) - \ln (y + 2 + \sqrt{y^{2} + 4y + 9})\right) = \\
= \lim_{\substack{x\to +\infty\\ y\to -\infty}} \sqrt{5}\ln ft(\frac{x + 2 + \sqrt{x^{2} + 4x + 9}}{y + 2 + \sqrt{y^{2} + 4y + 9}}\right) =\\
= \lim_{\substack{x\to +\infty\\ y\to -\infty}} \sqrt{5}\ln ft(\frac{\left(x + 2 + \sqrt{x^{2} + 4x + 9}\right)\left(\sqrt{y^{2} + 4y + 9} - y - 2\right)}{5}\right) = +\infty}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{5}dx}{\sqrt{x^{2} + 4x + 9}} = t \frac{\sqrt{5}dx}{(x + 2)^{2} + 5}}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ \sqrt{5}\sinh t = x + 2}\), wtedy \(\displaystyle{ dx = \sqrt{5}\cosh t \, dt}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{5}dx}{\sqrt{(x + 2)^{2} + 5}} = t \frac{5\cosh t \, dt}{\sqrt{5\sinh^{2} t + 5}} = t\frac{5\cosh t \, dt}{\sqrt{5\cosh^{2} t}} =\\
= t \sqrt{5}dt = \sqrt{5}t + C = \sqrt{5}\mbox{ arsinh }\frac{x + 2}{\sqrt{5}} + C = \\
=\sqrt{5}\ln\left(\frac{x + 2}{\sqrt{5}} + \sqrt{\left(\frac{x + 2}{\sqrt{5}}\right)^{2} + 1}\right) + C =\\
= \sqrt{5}\ln (x + 2 + \sqrt{x^{2} + 4x + 9}) + C^{*}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sqrt{5}dx}{\sqrt{x^{2} + 4x + 9}} = \lim_{\substack{x\to +\infty\\ y\to -\infty}}\int\limits_{y}^{x} \frac{\sqrt{5}dx}{\sqrt{x^{2} + 4x + 9}} =\\
=\lim_{\substack{x\to +\infty\\ y\to -\infty}}\sqrt{5}\left(\ln (x + 2 + \sqrt{x^{2} + 4x + 9}) - \ln (y + 2 + \sqrt{y^{2} + 4y + 9})\right) = \\
= \lim_{\substack{x\to +\infty\\ y\to -\infty}} \sqrt{5}\ln ft(\frac{x + 2 + \sqrt{x^{2} + 4x + 9}}{y + 2 + \sqrt{y^{2} + 4y + 9}}\right) =\\
= \lim_{\substack{x\to +\infty\\ y\to -\infty}} \sqrt{5}\ln ft(\frac{\left(x + 2 + \sqrt{x^{2} + 4x + 9}\right)\left(\sqrt{y^{2} + 4y + 9} - y - 2\right)}{5}\right) = +\infty}\)
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Całka oznaczona
Ew. można skorzystać z kryterium porównawczego z np. \(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{5 \, }{\sqrt{1+x^2}}}\) - przynajmniej nie trzeba się bawić w rachunki.
(No chyba, że należało zbadać zbieżność z def., ale o tym nigdzie nie jest napisane)
(No chyba, że należało zbadać zbieżność z def., ale o tym nigdzie nie jest napisane)