krańce przedziału zbieżności

[TS]

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{5^n+n} (x-1)^n}\)
\(\displaystyle{ R=\frac{5}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-3}{2}\leqslant x}\)

[robin5hood]

w przypadku gdy x=7/2 szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżnośći

[TS]

Czyli, że dla \(\displaystyle{ n\to\infty}\) nie wynosi to 0(tylko 1)?

[robin5hood]

tak dokladnie

[max]

Dla \(\displaystyle{ x = -\frac{3}{2}}\) również nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności.
(ciekaw jestem jakim cudem granica ciągu Cauchy'ego wyszła Ci ujemna i jak chciałeś zastosować tutaj to kryterium ??: )

[TS]

\(\displaystyle{ (\sqrt[n]({{\frac{(-3)^n}{2^n}})\frac{2^n}{5^n+n}}}=\frac{-3}{5}\sqrt[n]{\frac{1}{1+\frac{n}{5^n}}}=\frac{-3}{5}}\)

czy nie?..

[max]

Nie.
W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej nie jest zdefiniowany.
Poza tym kryterium zbieżności Cauchy'ego stosuje się do szeregów o wyrazach dodatnich.
Wreszcie dla \(\displaystyle{ x = -\frac{3}{2}}\) wyraz ogólny szeregu ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{2^{n}}{3^{n} + n}\cdot \left(-\frac{5}{2}\right)^{n}}\)

[TS]

Chodziło Ci o:
\(\displaystyle{ \frac{2^{n}}{5^{n} + n}\cdot ft(-\frac{5}{2}\right)^{n}}\)
?

Ale jak nie moze być \(\displaystyle{ \sqrt[n]{(-5)^n}}\)skoro to \(\displaystyle{ (-5)^\frac{n}{n}}\) czyli -5 ?

Ale sprawdzając dla szeregu o przemiennym znaku mogę sprawdzić dla wartości bezwględnej i stwierdzić np zbieżność bezwględną?

[max]

Tak, o to mi chodziło, przepraszam za literówkę. Co do Twojego rozumowania - zauważ, że np:
\(\displaystyle{ \sqrt{(-5)^{2}} = \sqrt{25} = 5\neq -5}\)
bo pierwiastek arytmetyczny stopnia parzystego \(\displaystyle{ 2n}\) z liczby (dodatniej) \(\displaystyle{ a}\) określa się jako nieujemne rozwiązanie równania:
\(\displaystyle{ x^{2n} = a}\)
Oczywiście kryterium Cauchy'ego może być zastosowane do badania zbieżności bezwzględnej, gdyż szereg o wyrazach równych wartościom bezwzględnym jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (jeśli pominąć wyrazy równe zeru, to można nawet powiedzieć, że o wyrazach dodatnich). W przypadku szeregów o skończonej liczbie wyrazów jednego ze znaków z tego, że szereg nie jest zbieżny bezwzględnie wynika, że szereg nie jest zbieżny również warunkowo. Ale w przypadku badania zbieżności warunkowej szeregów o nieskończonej ilości wyrazów zarówno dodatnich jak i ujemnych należy posłużyć się innymi metodami. W tym przypadku wystarczyło sprawdzić warunek konieczny.