\(\displaystyle{ \int\sqrt{3x^2+10x+9}dx}\) kombinuje tak:
\(\displaystyle{ \int\frac{3x^2+10x+9}{\sqrt{3x^2+10x+9}}dx}\) wiem również że, licznik można zapisać tak: \(\displaystyle{ 3x^2+10x+9=\frac{1}{12}(6x+10)^2+\frac{2}{3}}\)
otrzymać musze coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{6}(3x+5)\sqrt{3x^2+10x+9}+\frac{1}{9}\sqrt{3}\ln(3x+5+\sqrt{3(3x^2+10x+9)})+C}\) i z tym trochę problemu jest ??: potrzebuję w takim razie jakiegoś spostrzegawczego naprowadzenia, zresztą tak jak zawsze
Całka: pierwiastek z trójmianu kwadratowego
- sparrow_88
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 29 lis 2006, o 17:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Błaszki\Wrocław
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1 raz
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Całka: pierwiastek z trójmianu kwadratowego
Możesz sprowadzić trójmian pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej, dalej zastosować podstawienie hiperboliczne, lub nawet trygonometryczne. Ewentualnie możesz skorzystać z pierwszego lub drugiego podstawienia Eulera.
Można też tak:
\(\displaystyle{ I = \int \sqrt{3x^{2} + 10x + 9}\, = \int \frac{3x^{2} + 10x + 9}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}\, = \\
= \int \frac{x(6x + 10)\, }{2\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} + \frac{10}{6}\int \frac{6x + 10 \, }{2\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} +\frac{4}{6}\int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} =\\
= \left(x + \frac{10}{6}\right)\sqrt{3x^{2} + 10x + 9} - \int \sqrt{3x^{2} + 10x + 9}\, + \frac{4}{6}\int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}}\)
i dostajemy równanie:
\(\displaystyle{ I = \left(x + \frac{10}{6}\right)\sqrt{3x^{2} + 10x + 9} - I + \frac{4}{6}I_{1}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ I_{1} = \int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}}\)
tę ostatnią całkę można obliczyć przekształcając trójmian do postaci kanonicznej i przez podstawienie sprowadzając do postaci:
\(\displaystyle{ A\cdot \int \frac{\mbox{d}t}{\sqrt{t^{2} + 1}} = A\cdot \ln \left(t + \sqrt{t^{2} + 1}\right)}\)
Można też tak:
\(\displaystyle{ I = \int \sqrt{3x^{2} + 10x + 9}\, = \int \frac{3x^{2} + 10x + 9}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}\, = \\
= \int \frac{x(6x + 10)\, }{2\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} + \frac{10}{6}\int \frac{6x + 10 \, }{2\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} +\frac{4}{6}\int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} =\\
= \left(x + \frac{10}{6}\right)\sqrt{3x^{2} + 10x + 9} - \int \sqrt{3x^{2} + 10x + 9}\, + \frac{4}{6}\int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}}\)
i dostajemy równanie:
\(\displaystyle{ I = \left(x + \frac{10}{6}\right)\sqrt{3x^{2} + 10x + 9} - I + \frac{4}{6}I_{1}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ I_{1} = \int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}}\)
tę ostatnią całkę można obliczyć przekształcając trójmian do postaci kanonicznej i przez podstawienie sprowadzając do postaci:
\(\displaystyle{ A\cdot \int \frac{\mbox{d}t}{\sqrt{t^{2} + 1}} = A\cdot \ln \left(t + \sqrt{t^{2} + 1}\right)}\)
- przemk20
- Użytkownik
- Posty: 1094
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olesno
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 236 razy
Całka: pierwiastek z trójmianu kwadratowego
albo mozna tez tak:
\(\displaystyle{ \int \sqrt{3x^2 +10x+9} dx = \frac{\sqrt{6}}{3} t \sqrt{\frac{1}{8}(6x+10)^2 + 1} dx \\
\frac{1}{8}(6x+10)^2 = ( \frac{\sqrt{2} }{4}(6x+10))^2 = \tan^2 t \\
\frac{dt}{\cos^2 t} = \frac{3}{2} \sqrt{2} dx, \ \ zas \\
t \sqrt{\tan^2 t+1} \frac{dt}{\cos^2 t} = t \frac{dt}{\cos^3 t}= t \frac{\cos t dt}{ (1-\sin^2 t)^2} \\
\sin t = u, \ \ \cos t dt = du \\
t \frac{du}{(1-u^2)^2} = .........\\}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{3x^2 +10x+9} dx = \frac{\sqrt{6}}{3} t \sqrt{\frac{1}{8}(6x+10)^2 + 1} dx \\
\frac{1}{8}(6x+10)^2 = ( \frac{\sqrt{2} }{4}(6x+10))^2 = \tan^2 t \\
\frac{dt}{\cos^2 t} = \frac{3}{2} \sqrt{2} dx, \ \ zas \\
t \sqrt{\tan^2 t+1} \frac{dt}{\cos^2 t} = t \frac{dt}{\cos^3 t}= t \frac{\cos t dt}{ (1-\sin^2 t)^2} \\
\sin t = u, \ \ \cos t dt = du \\
t \frac{du}{(1-u^2)^2} = .........\\}\)
- sparrow_88
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 29 lis 2006, o 17:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Błaszki\Wrocław
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1 raz
Całka: pierwiastek z trójmianu kwadratowego
niestety mam pytanie co do trzeciej linijki Twojego kodu tex: skąd to się wzięło (oczywiście bez końcówki) resztą już wiem jak się zająć, co do ostatniej całki to za pomocą podstawienia Eulera nie jest wcale tak trudno więc też sobie poradzęmax pisze: Można też tak:
\(\displaystyle{ I = \int \sqrt{3x^{2} + 10x + 9}\, = \int \frac{3x^{2} + 10x + 9}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}\, = \\
= \int \frac{x(6x + 10)\, }{2\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} + \frac{10}{6}\int \frac{6x + 10 \, }{2\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} +\frac{4}{6}\int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} =\\
= \left(x + \frac{10}{6}\right)\sqrt{3x^{2} + 10x + 9} - \int \sqrt{3x^{2} + 10x + 9}\, + \frac{4}{6}\int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}}\)
i dostajemy równanie:
\(\displaystyle{ I = \left(x + \frac{10}{6}\right)\sqrt{3x^{2} + 10x + 9} - I + \frac{4}{6}I_{1}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ I_{1} = \int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}}\)
tę ostatnią całkę można obliczyć przekształcając trójmian do postaci kanonicznej i przez podstawienie sprowadzając do postaci:
\(\displaystyle{ A\cdot \int \frac{\mbox{d}t}{\sqrt{t^{2} + 1}} = A\cdot \ln \left(t + \sqrt{t^{2} + 1}\right)}\)
dxianks przemek20 za naprowadzenie, ale podstawień trygonometrycznych wolę unikać, już raz nie zdołałem wrócić do zmiennej x
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Całka: pierwiastek z trójmianu kwadratowego
Pierwsza całka z drugiej linijki została potraktowana wzorem na całkowanie przez części (zróżniczkowałem \(\displaystyle{ x}\), scałkowałem resztę), a druga całka z drugiej linijki - podstawieniem \(\displaystyle{ t = 3x^{2} + 10 + 9}\).sparrow_88 pisze:niestety mam pytanie co do trzeciej linijki Twojego kodu tex: skąd to się wzięło (oczywiście bez końcówki)
- sparrow_88
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 29 lis 2006, o 17:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Błaszki\Wrocław
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1 raz
Całka: pierwiastek z trójmianu kwadratowego
chyba podstawiłeś \(\displaystyle{ t^2=3x^2+10x+9}\) ale to już wiem, dxianks za wszystko