Całka: pierwiastek z trójmianu kwadratowego

[sparrow_88]

\(\displaystyle{ \int\sqrt{3x^2+10x+9}dx}\) kombinuje tak:
\(\displaystyle{ \int\frac{3x^2+10x+9}{\sqrt{3x^2+10x+9}}dx}\) wiem również że, licznik można zapisać tak: \(\displaystyle{ 3x^2+10x+9=\frac{1}{12}(6x+10)^2+\frac{2}{3}}\)
otrzymać musze coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{6}(3x+5)\sqrt{3x^2+10x+9}+\frac{1}{9}\sqrt{3}\ln(3x+5+\sqrt{3(3x^2+10x+9)})+C}\) i z tym trochę problemu jest ??: potrzebuję w takim razie jakiegoś spostrzegawczego naprowadzenia, zresztą tak jak zawsze

[max]

Możesz sprowadzić trójmian pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej, dalej zastosować podstawienie hiperboliczne, lub nawet trygonometryczne. Ewentualnie możesz skorzystać z pierwszego lub drugiego podstawienia Eulera.

Można też tak:
\(\displaystyle{ I = \int \sqrt{3x^{2} + 10x + 9}\, = \int \frac{3x^{2} + 10x + 9}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}\, = \\
= \int \frac{x(6x + 10)\, }{2\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} + \frac{10}{6}\int \frac{6x + 10 \, }{2\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} +\frac{4}{6}\int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} =\\
= \left(x + \frac{10}{6}\right)\sqrt{3x^{2} + 10x + 9} - \int \sqrt{3x^{2} + 10x + 9}\, + \frac{4}{6}\int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}}\)
i dostajemy równanie:
\(\displaystyle{ I = \left(x + \frac{10}{6}\right)\sqrt{3x^{2} + 10x + 9} - I + \frac{4}{6}I_{1}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ I_{1} = \int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}}\)
tę ostatnią całkę można obliczyć przekształcając trójmian do postaci kanonicznej i przez podstawienie sprowadzając do postaci:
\(\displaystyle{ A\cdot \int \frac{\mbox{d}t}{\sqrt{t^{2} + 1}} = A\cdot \ln \left(t + \sqrt{t^{2} + 1}\right)}\)

[przemk20]

albo mozna tez tak:
\(\displaystyle{ \int \sqrt{3x^2 +10x+9} dx = \frac{\sqrt{6}}{3} t \sqrt{\frac{1}{8}(6x+10)^2 + 1} dx \\
\frac{1}{8}(6x+10)^2 = ( \frac{\sqrt{2} }{4}(6x+10))^2 = \tan^2 t \\
\frac{dt}{\cos^2 t} = \frac{3}{2} \sqrt{2} dx, \ \ zas \\
t \sqrt{\tan^2 t+1} \frac{dt}{\cos^2 t} = t \frac{dt}{\cos^3 t}= t \frac{\cos t dt}{ (1-\sin^2 t)^2} \\
\sin t = u, \ \ \cos t dt = du \\
t \frac{du}{(1-u^2)^2} = .........\\}\)

[sparrow_88]

Można też tak:
\(\displaystyle{ I = \int \sqrt{3x^{2} + 10x + 9}\, = \int \frac{3x^{2} + 10x + 9}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}\, = \\
= \int \frac{x(6x + 10)\, }{2\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} + \frac{10}{6}\int \frac{6x + 10 \, }{2\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} +\frac{4}{6}\int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} =\\
= \left(x + \frac{10}{6}\right)\sqrt{3x^{2} + 10x + 9} - \int \sqrt{3x^{2} + 10x + 9}\, + \frac{4}{6}\int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}}\)
i dostajemy równanie:
\(\displaystyle{ I = \left(x + \frac{10}{6}\right)\sqrt{3x^{2} + 10x + 9} - I + \frac{4}{6}I_{1}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ I_{1} = \int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}}\)
tę ostatnią całkę można obliczyć przekształcając trójmian do postaci kanonicznej i przez podstawienie sprowadzając do postaci:
\(\displaystyle{ A\cdot \int \frac{\mbox{d}t}{\sqrt{t^{2} + 1}} = A\cdot \ln \left(t + \sqrt{t^{2} + 1}\right)}\)

niestety mam pytanie co do trzeciej linijki Twojego kodu tex: skąd to się wzięło (oczywiście bez końcówki) resztą już wiem jak się zająć, co do ostatniej całki to za pomocą podstawienia Eulera nie jest wcale tak trudno więc też sobie poradzę
dxianks przemek20 za naprowadzenie, ale podstawień trygonometrycznych wolę unikać, już raz nie zdołałem wrócić do zmiennej x

[max]

niestety mam pytanie co do trzeciej linijki Twojego kodu tex: skąd to się wzięło (oczywiście bez końcówki)

Pierwsza całka z drugiej linijki została potraktowana wzorem na całkowanie przez części (zróżniczkowałem \(\displaystyle{ x}\), scałkowałem resztę), a druga całka z drugiej linijki - podstawieniem \(\displaystyle{ t = 3x^{2} + 10 + 9}\).

[sparrow_88]

chyba podstawiłeś \(\displaystyle{ t^2=3x^2+10x+9}\) ale to już wiem, dxianks za wszystko