granica

[luck865]

Dana jest granica \(\displaystyle{ \lim_{x\to } f:[a,b]\rightarrow R, c\in [a,b]}\)

a) \(\displaystyle{ f^{'}(c)=0}\)??
b) \(\displaystyle{ f^{'}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\)??
c) \(\displaystyle{ f^{'}(c)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}}\)??

[ Dodano: 14 Września 2007, 09:55 ]
odpowiedzi tak lub nie

[scyth]

Co to jest x? Jak należy rozumieć tą granicę?

[luck865]

sorka tego lim niema tam jest f:[a,b]....

[scyth]

Punkty b) i c) są takie same.
Rozumiem, że pytanie jest - czy istnieje takie c?
Zakładam również, że f jest ciągła.

a) niekoniecznie - np. funkcja liniowa
b) takie c istnieje. Załóżmy, że:
\(\displaystyle{ \forall x \in [a,b] : \ \ f'(x) > \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ f'(a) > \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\
f'(b) > \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\
\Rightarrow f'(a) - f'(b) > 0 \wedge f'(b)-f'(a) > 0 \Rightarrow 0 > 0}\)
Podobnie dla nierówności w drugą stronę. Zatem istnieje conajmniej jedno takie c (przy moich założeniach).

[max]

Załóżmy, że:
\(\displaystyle{ \forall x \in [a,b] : \ \ f'(x) > \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ f'(a) > \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\ f'(b) > \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\ \Rightarrow f'(a) - f'(b) > 0 \wedge f'(b)-f'(a) > 0 \Rightarrow 0 > 0}\)

Pierwsza implikacja jest nieprawdziwa.