[studia] Politechnika Szczecinska - Analiza dr.Lizak

[pasta]

1. Obliczyc granice:

a) \(\displaystyle{ \lim_{n\to } \ \sqrt{4^{n}+2^{n}}-\sqrt{4^{n}-2^{n}}}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \ \frac{\cos{2x}}{\cos{x}-\sin{x}}}}\)

c) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 1} \ (\ln{x})^\frac{1}{x-1}}\)

2.Obliczyc granice jednostronne:

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{e^\frac{1}{x} - 1}{e^\frac{1}{x} + 2}}\)
w punkcie \(\displaystyle{ x_0=0}\)

3.Na podstawie def. wyprowadzic wzor na pochodna funkcji

\(\displaystyle{ f(x) = e^{2x+1}}\)

4.Napisac wzor Taylora dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \ln{x}}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}=1}\)

5. Obliczyc calki:

a) \(\displaystyle{ \int\frac{2x-1}{x^{2}+4x+7} dx}\)

b) \(\displaystyle{ \int x^{3} \ln{(x+1)}}\)

c) \(\displaystyle{ \int \frac{\ln{x}}{x\sqrt{4-\ln^2{x}}} dx}\)

d) \(\displaystyle{ \int \sin^{5}xdx}\)

[dasmany]

Zad1.
a)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{4^n +2^n - ( 4^n - 2^n)}{\sqrt{4^n + 2^n} + \sqrt{4^n - 2^n}} = \lim_{n\to } \frac{2 * 2^n}{2^n (\sqrt{1^n + (\frac{1}{2})^n} + \sqrt{1^n - (\frac{1}{2})^n})}= \frac{2}{1 +1} = 2}\)

b)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x - \sin x} = \lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \cos x + \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}}\)

5.
a)

\(\displaystyle{ \int \frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 7}dx - 5 t \frac{dx}{x^2 + 4x + 7}}\)

Pierwsza całka (ponieważ licznik jest pochodną mianownika):
\(\displaystyle{ \int \frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 7}dx = \ln(x^2 +4x + 7) + C}\)

Druga całka:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^2 + 4x + 7} = t \frac{dx}{(x+2)^{2} + 3} = \frac{1}{3} t \frac{dx}{(\frac{x+2}{\sqrt{3}})^{2} + 1}}\)
Robimy podstawienie:
\(\displaystyle{ \frac{x+2}{\sqrt{3}} = t}\), \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{3}}dx = dt}\), \(\displaystyle{ dx = \sqrt{3}dt}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt3}{3} t \frac{dt}{x^2 + 1} = \frac{\sqrt3}{3} \arctan t + C = \frac{\sqrt3}{3} \arctan \frac{x+2}{\sqrt{3}} + C}\)

Czyli końcowy wynik:
\(\displaystyle{ \int \frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 7}dx = \ln(x^2 +4x + 7) - \frac{5\sqrt3}{3} \arctan \frac{x+2}{\sqrt{3}} + C}\)


c)
\(\displaystyle{ \int \frac{\ln x}{x \sqrt{4 - \ln^2 x}} = t \frac{\ln x}{2x \sqrt{1 - (\frac{\ln x}{2})^2}}}\)
Dokonujemy podstawienia:
\(\displaystyle{ \frac{\ln x}{2} = t}\), \(\displaystyle{ \frac{dx}{2x} = dt}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \arcsin t + C = \arcsin \frac{\ln x}{2} + C}\)

d
\(\displaystyle{ \int (1 - \cos^2 x)^2 \sin x}\)
Podstawienie ze spełnionego pierwszedo warunku całkowania funkcji trygonometrycznej.
\(\displaystyle{ t = \cos x}\), \(\displaystyle{ \sin x = \sqrt{1 - t^2}}\), \(\displaystyle{ dx = - \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}}\)
A więc:
\(\displaystyle{ - t (1-t^2)^2 dt = - t (1 - 2t^2 + t^4) dt = -t +\frac{2 t^3}{3} - \frac{t^5}{5} + C =-\cos x +\frac{2 \cos^3 x}{3} - \frac{\cos^5 x}{5} + C =}\)