- \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\cos\left(\frac{1}{n}\right)+\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)}\)
- \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}}\)
- \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{6^{n}}{n!}}\)
- \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^{n}\ln(n!)}}\)
- \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^{2}}\cdot 2^{n}}\)
- \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\ln(n+1)}}\)
Zbadać zbieżność szeregów (6)
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 13 wrz 2007, o 22:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Leszno
Zbadać zbieżność szeregów (6)
Zbadac zbieznosc nastepujacych szeregow:
Ostatnio zmieniony 1 sty 1970, o 01:00 przez natalialeszno, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Zbadać zbieżność szeregów (6)
Zbadajmy zbieżność szeregu:\(\displaystyle{ \frac{6^{n}}{n!}}\) z kryterium d'Alemberta:
\(\displaystyle{ \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{6^{n+1}*n!}{(n+1)!*6^{n}}=\frac{6}{n+1} \rightarrow 0}\) czyli szereg zbieżny na mocy kryterium d'Alemberta
W 5 korzystasz z kryterium Cauchy'ego i masz
\(\displaystyle{ lim\sqrt[n]{u_{n}}=lim(\frac{n}{n+1})^{2}*2=2>1}\) czyli szereg rozbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego
\(\displaystyle{ \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{6^{n+1}*n!}{(n+1)!*6^{n}}=\frac{6}{n+1} \rightarrow 0}\) czyli szereg zbieżny na mocy kryterium d'Alemberta
W 5 korzystasz z kryterium Cauchy'ego i masz
\(\displaystyle{ lim\sqrt[n]{u_{n}}=lim(\frac{n}{n+1})^{2}*2=2>1}\) czyli szereg rozbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego
Ostatnio zmieniony 13 wrz 2007, o 23:08 przez Piotr Rutkowski, łącznie zmieniany 1 raz.
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
Zbadać zbieżność szeregów (6)
1. Warunek konieczny.
2. Przekształcenie do \(\displaystyle{ \sum\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{n}}\) i kryterium porównawcze z odpowiednim szeregiem harmonicznym.
3. już zrobione
4. kryterium porównawcze ze zbieżnym szeregiem geometrycznym
5. kryterium Cauchy'ego
6. kryterium Leibniza
2. Przekształcenie do \(\displaystyle{ \sum\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{n}}\) i kryterium porównawcze z odpowiednim szeregiem harmonicznym.
3. już zrobione
4. kryterium porównawcze ze zbieżnym szeregiem geometrycznym
5. kryterium Cauchy'ego
6. kryterium Leibniza
- bolo
- Użytkownik
- Posty: 2470
- Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BW
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 191 razy
Zbadać zbieżność szeregów (6)
Rozszerzając wypowiedź Lider_M:
Ad. 1. Nie jest spełniony warunek konieczny (stąd szereg rozbieżny), bo:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(\cos\left(\frac{1}{n}\right)+\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)=\\=\lim_{n\to\infty}\sqrt{2}\cos\left({\frac{\pi}{4}-\frac{1}{n}}\right)=\sqrt{2}\cdot \cos{\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1}\)
Ad. 2.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{n} \\ \\ \\ \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{n}>\frac{\sqrt{n+1}}{n}>\frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}}\)
Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}\) jest rozbieżny, więc ten wyjściowy też jest rozbieżny na mocy kryterium porównawczego.
Ad. 4. Kryterium porównawcze w stronę szeregu zbieżnego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2^{n}\ln(n!)}}\)
D'Alembert dla \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^{n}\ln{n}}}\) (będzie zbieżny):
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}\ln{n}}{2^{n+1}\ln(n+1)}=\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{\ln{n}}{\ln(n+1)}=\frac{1}{2}}\)
Stąd wyjściowy też zbieżny z kryt. porównawczego.
Ad. 6
Szereg ten jest zbieżny warunkowo - kryterium Leibniza:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left|a_{n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln{(n+1)}}=0}\)
Ale nie jest zbieżny bezwzględnie, bo:
\(\displaystyle{ \left|\frac{(-1)^{n+1}}{\ln{(n+1)}}\right|=\frac{1}{\ln{(n+1)}}>\frac{1}{n+1}}\)
A szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}}\) jest rozbieżny.
Post będzie edytowany.
Ad. 1. Nie jest spełniony warunek konieczny (stąd szereg rozbieżny), bo:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(\cos\left(\frac{1}{n}\right)+\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)=\\=\lim_{n\to\infty}\sqrt{2}\cos\left({\frac{\pi}{4}-\frac{1}{n}}\right)=\sqrt{2}\cdot \cos{\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1}\)
Ad. 2.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{n} \\ \\ \\ \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{n}>\frac{\sqrt{n+1}}{n}>\frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}}\)
Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}\) jest rozbieżny, więc ten wyjściowy też jest rozbieżny na mocy kryterium porównawczego.
Ad. 4. Kryterium porównawcze w stronę szeregu zbieżnego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2^{n}\ln(n!)}}\)
D'Alembert dla \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^{n}\ln{n}}}\) (będzie zbieżny):
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}\ln{n}}{2^{n+1}\ln(n+1)}=\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{\ln{n}}{\ln(n+1)}=\frac{1}{2}}\)
Stąd wyjściowy też zbieżny z kryt. porównawczego.
Ad. 6
Szereg ten jest zbieżny warunkowo - kryterium Leibniza:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left|a_{n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln{(n+1)}}=0}\)
Ale nie jest zbieżny bezwzględnie, bo:
\(\displaystyle{ \left|\frac{(-1)^{n+1}}{\ln{(n+1)}}\right|=\frac{1}{\ln{(n+1)}}>\frac{1}{n+1}}\)
A szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}}\) jest rozbieżny.
Post będzie edytowany.
Ostatnio zmieniony 13 wrz 2007, o 23:50 przez bolo, łącznie zmieniany 4 razy.
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
Zbadać zbieżność szeregów (6)
Albo po prostu:bolo pisze: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(\cos\left(\frac{1}{n}\right)+\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)=}\)
\(\displaystyle{ =\cos 0+\sin 0=1}\)
Niestety źle, powinno być:polskimisiek pisze:W 5 korzystasz z kryterium Cauchy'ego i masz
\(\displaystyle{ lim\sqrt[n]{u_{n}}=lim(\frac{n}{n+1})^{2}*2=2>1}\) czyli szereg rozbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego
\(\displaystyle{ \lim_n\sqrt[n]{u_n}=\lim_n\left(\frac{n}{n+1}\right)^n2=\frac{2}{e}}\), czyli jest zbieżny.
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Zbadać zbieżność szeregów (6)
Sorry, racja, myślałem, że w wykładniku jest \(\displaystyle{ 2n}\), a nie \(\displaystyle{ n^{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 13 wrz 2007, o 22:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Leszno
Zbadać zbieżność szeregów (6)
ŁaŁ dziekuje bardzo! Nigdy bym sie nie spodziewala ze pomoc moze przyjsc tak szybko! z takim przygotowaniem na pewno zdam kolo Dzieki WIELKIEEEEEEEEEEEEEEE POZDRAWIAM