Zbadać zbieżność szeregów (6)

[natalialeszno]

Zbadac zbieznosc nastepujacych szeregow:

• \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\cos\left(\frac{1}{n}\right)+\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)}\)
• \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}}\)
• \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{6^{n}}{n!}}\)
• \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^{n}\ln(n!)}}\)
• \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^{2}}\cdot 2^{n}}\)
• \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\ln(n+1)}}\)

[Piotr Rutkowski]

Zbadajmy zbieżność szeregu:\(\displaystyle{ \frac{6^{n}}{n!}}\) z kryterium d'Alemberta:
\(\displaystyle{ \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{6^{n+1}*n!}{(n+1)!*6^{n}}=\frac{6}{n+1} \rightarrow 0}\) czyli szereg zbieżny na mocy kryterium d'Alemberta

W 5 korzystasz z kryterium Cauchy'ego i masz
\(\displaystyle{ lim\sqrt[n]{u_{n}}=lim(\frac{n}{n+1})^{2}*2=2>1}\) czyli szereg rozbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego

[Lider_M]

1. Warunek konieczny.
2. Przekształcenie do \(\displaystyle{ \sum\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{n}}\) i kryterium porównawcze z odpowiednim szeregiem harmonicznym.
3. już zrobione
4. kryterium porównawcze ze zbieżnym szeregiem geometrycznym
5. kryterium Cauchy'ego
6. kryterium Leibniza

[bolo]

Rozszerzając wypowiedź Lider_M:

Ad. 1. Nie jest spełniony warunek konieczny (stąd szereg rozbieżny), bo:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(\cos\left(\frac{1}{n}\right)+\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)=\\=\lim_{n\to\infty}\sqrt{2}\cos\left({\frac{\pi}{4}-\frac{1}{n}}\right)=\sqrt{2}\cdot \cos{\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1}\)

Ad. 2.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{n} \\ \\ \\ \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{n}>\frac{\sqrt{n+1}}{n}>\frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}}\)

Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}\) jest rozbieżny, więc ten wyjściowy też jest rozbieżny na mocy kryterium porównawczego.

Ad. 4. Kryterium porównawcze w stronę szeregu zbieżnego:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2^{n}\ln(n!)}}\)

D'Alembert dla \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^{n}\ln{n}}}\) (będzie zbieżny):

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}\ln{n}}{2^{n+1}\ln(n+1)}=\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{\ln{n}}{\ln(n+1)}=\frac{1}{2}}\)

Stąd wyjściowy też zbieżny z kryt. porównawczego.

Ad. 6

Szereg ten jest zbieżny warunkowo - kryterium Leibniza:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left|a_{n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln{(n+1)}}=0}\)

Ale nie jest zbieżny bezwzględnie, bo:

\(\displaystyle{ \left|\frac{(-1)^{n+1}}{\ln{(n+1)}}\right|=\frac{1}{\ln{(n+1)}}>\frac{1}{n+1}}\)

A szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}}\) jest rozbieżny.

Post będzie edytowany.

[Lider_M]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(\cos\left(\frac{1}{n}\right)+\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)=}\)

Albo po prostu:
\(\displaystyle{ =\cos 0+\sin 0=1}\)

W 5 korzystasz z kryterium Cauchy'ego i masz
\(\displaystyle{ lim\sqrt[n]{u_{n}}=lim(\frac{n}{n+1})^{2}*2=2>1}\) czyli szereg rozbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego

Niestety źle, powinno być:
\(\displaystyle{ \lim_n\sqrt[n]{u_n}=\lim_n\left(\frac{n}{n+1}\right)^n2=\frac{2}{e}}\), czyli jest zbieżny.

[Piotr Rutkowski]

Sorry, racja, myślałem, że w wykładniku jest \(\displaystyle{ 2n}\), a nie \(\displaystyle{ n^{2}}\)

[natalialeszno]

ŁaŁ dziekuje bardzo! Nigdy bym sie nie spodziewala ze pomoc moze przyjsc tak szybko! z takim przygotowaniem na pewno zdam kolo Dzieki WIELKIEEEEEEEEEEEEEEE POZDRAWIAM