Równanie z symbolami Newtona

[kkkrystekkk]

A więc moim zadaniem jest udowodnić, że:

\(\displaystyle{ {n+1\choose k+1} = {n\choose k+1} + {n\choose k}}\)

I zrobiłem tak:


\(\displaystyle{ {n+1\choose k+1} = \frac{(n+1)}{(k+1)! * (n+1-k-1)} = \frac{(n+1)!}{(k+1)! * (n-k)}}\)

\(\displaystyle{ {n\choose k+1} + {n\choose k} = \frac{n!}{(k+1)! * (n-k-1)!} + \frac{(n+1)!}{(k+1)! * (n-k)!}}\)

i nie wiem co dalej.. chyba coś zepsułem :/

[jasny]

\(\displaystyle{ {n\choose{k+1}}+{n\choose k}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}=}\) \(\displaystyle{ =\frac{n!}{k!(k+1)(n-k-1)!}+\frac{n!}{k!(n-k-1)!(n-k)}=}\) \(\displaystyle{ =\frac{n!(n-k)+n!(k+1)}{k!(k+1)(n-k-1)!(n-k)}= \frac{n!(n+1)}{(k+1)!(n-k)!}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n+1-(k+1))!}={{n+1}\choose{k+1}}}\)

[wb]

\(\displaystyle{ {n \choose k+1}+{n \choose k}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}= \\ =\frac{n!}{k!(n-k-1)!}(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{n-k})=\frac{n!}{k!(n-k-1)!}\frac{n-k+k+1}{(k+1)(n-k)}=\frac{n!}{k!(n-k-1)!}\frac{n+1}{(k+1)(n-k)}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}={n+1 \choose k+1}}\)

[n0need]

Przepraszam, ale możecie co nieco objaśnić?
Jasny, jak to zrobiłeś, że z dodawania dwóch ułamków o różnych mianownikach, zrobiłeś jeden ułamek?

Wb, a ty z jakich praw matematycznych korzystasz zmieniając dodawanie na mnożenie?
Proszę o wytłumaczenie, bo naprawdę się gubię teraz ;(

[kkkrystekkk]

\(\displaystyle{ \frac{n!}{k!(k+1)(n-k-1)!}+\frac{n!}{k!(n-k-1)!(n-k)}=}\) \(\displaystyle{ =\frac{n!(n-k)+n!(k+1)}{k!(k+1)(n-k-1)!(n-k)}}\)

Mógłbyś mi jeszcze wyjaśnić jak to połączyłeś nie mając wspólnego mianownika, bo niezbyt rozumiem.

[jasny]

Tam gdzie w liczniku jest +, rozbij na dwa ułamki, i wtedy zobaczysz. (pierwszy ułamek rozszerzyłem przez (n-k), drugi przez (k+1), i już jest wspólny mianownik)

[kkkrystekkk]

Dziękuję w swoim i kolegi imieniu

[wb]

Wyłączyłem wspólny czynnik przed nawias.