całka niewłaściwa

[eloar]

Obliczyć pole figury ograniczonej:
\(\displaystyle{ D:\begin{cases}x=0\\x=1\\y=0\\y=\frac{x^2}{\sqrt{1-x}}\end{cases}}\)

Bede wdzieczny, jak ktos poda kilka krokow z samego procesu liczenia. No i powie jaka metoda liczyc calke (czesci, podstawieni).

[przemk20]

wystarczy policzyc calke oznaczona
\(\displaystyle{ \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x}} dx}\)

[eloar]

ehh... nie wystarczy... funkcja ta nie jest ciagla w punkcie x=1...

Niech ktos mily powie przy okazji jaka metoda liczyc ta calke, a pana powyzej prosze o wyrazniejsze czytanie tego, co pisze.

[Mbach]

\(\displaystyle{ \lim_{a\to1^+}\int_0^a \frac{x^2}{\sqrt{1-x}} dx}\)

jakoby z definicji

[eloar]

Mbach:
1) a-> 1^-, bo to z lewej strony rozbiega do nieskonczonosci.
2) prosilem, aby podac jaka metoda ta calke liczyc po prostu. Bardzo mi zalezy, aby to zadanie rozbroic, wiec bardzo prosze o pomoc!

[luka52]

prosilem, aby podac jaka metoda ta calke liczyc po prostu.

IMHO najsprawniej będzie przez podstawienie \(\displaystyle{ t^2 = 1-x}\).

[eloar]

kutwa cos mi sie nie zgadza... gdy korzystam z tego podstawienia, to ten \(\displaystyle{ x^2}\) z licznika mi sie nie kasuje i nie wiem co z nim zrobic :/...

Moze odam jak to licze w takim razie:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to 0}\int_{0}^{1-n}\frac{x^2}{\sqrt{1-x}}\\
\begin{cases}t^2=1-x\\2tdt=-dx\end{cases}}\)

No i teraz jak to podstawie, to wychodzi mi niestety:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to 0}\int_{1}^{0+n}\frac{x^{2}2t}{t}dt\}\)

Widze juz sam, ze mozna t skrocic spokojnie, ale nie wiem, czy to dobry pomysl. Mozesz mnie naprowadzic jak to poprowadzic dalej?

[luka52]

Całka nieoznaczona:
Podstawienie \(\displaystyle{ t^2 = 1- x, \quad = - 2t \, \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ I = - 2 t \frac{(1-t^2)^2}{t} t \, \mbox{d}t = \ldots}\)

[eloar]

mozesz jeszcze podsunac pomoc jak zamienic granice calkawonia po podstawieniu?

[luka52]

Gdy \(\displaystyle{ x \to 0}\), to \(\displaystyle{ t \to \sqrt{1 - 0} = 1}\)
a gdy \(\displaystyle{ x \to 1}\), to \(\displaystyle{ t \to \sqrt{1 - 1} = 0}\)
czyli:
\(\displaystyle{ -2 t\limits_1^0 (1-t^2)^2 \, \mbox{d}t = 2 t\limits_0^1 (1-t^2)^2 \, \mbox{d}t = \ldots}\)

[eloar]

czyli tak jak myslalem. dzieki serdeczne. kiedy za to wszystko bede musial Ci piwo postawic ... nie ja jeden z reszta.