Prostokąt wpisany w trójkąt.

alien · Post autor: **alien** » 13 wrz 2007, o 15:58

Takie ciekawe zadanko: W trójkącie równoramiennym dane są długości podstawy a=12cm i wysokości h=18cm. W trójkąt ten wpisano prostokąt w ten sposób, że dwa wierzchołki prostokata leżą na podtsawie a, po jednym na każdym ramieniu trójkąta, a przekątne prostokąta są odpowiednio równoległe do ramion trójkąta. oblicz długości boków prostokąta.

Nie mam najmniejszego pojęcia ja zacząć nawet:P Proszę o jakieś wskazówki;>

florek177 · Post autor: **florek177** » 13 wrz 2007, o 18:45

a = 12; h = 18; b, c - boki prostokąta; d - jego przekątna.

\(\displaystyle{ \frac{h}{h - c} = \frac{a}{b}\,\}\) ; \(\displaystyle{ b^{2} + c^{2} = d^{2} \,\}\) ; \(\displaystyle{ c^{2} + (\frac{a}{2}- \frac{b}{2} )^{2} = d^{2}}\)

odp ( 4, 12 )

alien · Post autor: **alien** » 13 wrz 2007, o 19:14

Jeśli nie sprawi Ci to problemu to mógłbyś mi napisać jak do tego doszedłeś?

florek177 · Post autor: **florek177** » 13 wrz 2007, o 19:19

zrób rysunek i oznaczenia jak podałem. Masz jedną proporcję ( trójkąty podobne ) i dwa pitagorasy ( drugi wynika z zadania, że przekątna prostokąta jest równoległa do ramienia.

alien · Post autor: **alien** » 13 wrz 2007, o 19:43

No, zrobiłem piękny wymiarowy rysunek, ale nie wiem jak zrobić te układy równań? Trójkąty podobne, ale co mi to daje, znaczy wiem co, tylko nie wiem jak to zapisać, Bo wysokośc tych dwóch mniejszych trójkątów będzie dłuższymi bokami tego prostokąta... Ale jak to zapisać, to nie mam zielonego pojęcia.

Vixy · Post autor: **Vixy** » 13 wrz 2007, o 22:47

x-dłuzysz bok prostokata
y-krótszy bok prostokata
d-przekatna

\(\displaystyle{ d^2=x^2+y^2}\)

ramie z tw. pitagorasa wynosi \(\displaystyle{ 6\sqrt{10}}\)

korzystam z warunku podobienstwa trójkatow

\(\displaystyle{ \frac{18}{6}=\frac{y}{0,5*(12-x)}}\)
\(\displaystyle{ 108-9x=6y}\)

\(\displaystyle{ \fracP6\sqrt{10}}{6}=\frac{d}{x}}\)
\(\displaystyle{ d=\sqrt{10}x}\)

teraz kwestia obliczen