4 całki nieoznaczone

[Rockona]

Mam prośbę o obliczenie tych 4 całek jak najszybciej

\(\displaystyle{ \int \frac{e^x \, dx}{2e^x+1}\\
t \frac{dx}{x^3 - 1}\\
t x \mbox{arctg} \, x \, dx\\
t \frac{\ln (\ln x)}{x} dx}\)

bardzo bym prosiła o szybką odpowiedź. Pozdrawiam

Zapis poprawiłem, jednak radzę poczytać co nieco https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 . luka52

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ \int \frac{ln(ln(x)) dx}{x}= t ln(t) dt = t( ln(t)-1) = ln(x) (ln(ln(x))-1)}\)
t= ln(x)

[soku11]

\(\displaystyle{ \int \frac{ln(lnx)}{x} dx \\
lnx=t\\
\frac{dx}{x}=dt\\
t lnt dt\\
u=lnt\quad dv=dt\\
du=\frac{dt}{t}\quad v=t\\
t\cdot lnt-\int dt=t\cdot lnt-t=t(lnt-1)=lnx(lnx-1)}\)


\(\displaystyle{ \int xarctgxdx \\
u=arctgx\quad dv=xdx\\
du=\frac{dx}{x^2+1}\quad v=\frac{x^2}{2}\\
\frac{x^2arctgx}{2}-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{x^2+1}dx=
\frac{x^2arctgx}{2}-\frac{1}{2}\int (1-\frac{1}{x^2+1})dx=
\frac{x^2arctgx}{2}-\frac{1}{2}\int dx +\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2+1})dx=
\frac{x^2arctgx}{2}-\frac{x}{2} +\frac{1}{2}arctgx}\)


\(\displaystyle{ \int =\frac{dx}{x^3-1}=
t =\frac{dx}{(x-1)(x^2+x+1)}=
\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x-1}-\frac{1}{3}\int \frac{x+2}{x^2+x+1}dx=
\frac{1}{3}ln|x-1|-\frac{1}{3}\int \frac{x}{x^2+x+1}dx-\frac{2}{3}\int \frac{dx}{x^2+x+1}=...}\)


\(\displaystyle{ \int \frac{e^x}{2e^x+1} dx =\frac{1}{2}\int \frac{2e^x}{2e^x+1}dx=\frac{1}{2}ln|2e^x+1|}\)

POZDRO

[greey10]

1)
\(\displaystyle{ f(x)=\ln{(2e^{X}+1)}}\)
jesli sie nie myle pochodna tego to:
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{2e^{x}}{2e^{x}+1}}\)

[Rockona]

Wielkie dzięki Ludzie, ratujecie życie w tym momencie Pozdrówka

[mol_ksiazkowy]

wsk ad2
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^3-1} =\frac{\frac{1}{3}}{x-1}- \frac{\frac{1}{3}x+ \frac{2}{3}}{1+x+x^2}}\)