tak jak w temacie.. proszę o znalezienie promienia zbieżności szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}}\)
i w przedziale jego zbieżności znaleźć funkcję określoną tym szeregiem..
z góry dzięki za wszelkie próby i rozwiązania
znaleźć promień zbieżności i funkcję określoną szere
-
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
znaleźć promień zbieżności i funkcję określoną szere
Aby znaleźć promień zbieżności można obliczyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\sqrt[n]{\frac{1}{n}} = 1}\)
ponieważ jest ona skończona, to promień zbieżności równy jest jej odwrotności czyli:
\(\displaystyle{ R = 1}\)
Dla \(\displaystyle{ x = 1}\) dostajemy szereg harmoniczny rozbieżny, a dla \(\displaystyle{ x = -1}\) zbieżny warunkowo (tw Leibniza) szereg naprzemienny.
Aby znaleźć funkcję wyrażającą się przez sumę tego szeregu można go zróżniczkować korzystając z tw o różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz za wyrazem - otrzymamy szereg geometryczny o sumie \(\displaystyle{ \frac{1}{1 - x}}\), którą następnie całkujemy w przedziale \(\displaystyle{ [0, x]}\) dla \(\displaystyle{ -1 qslant x < 1}\).
Ostatecznie: \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n} = -\ln (1 - x)}\), dla \(\displaystyle{ x [-1, 1)}\).
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\sqrt[n]{\frac{1}{n}} = 1}\)
ponieważ jest ona skończona, to promień zbieżności równy jest jej odwrotności czyli:
\(\displaystyle{ R = 1}\)
Dla \(\displaystyle{ x = 1}\) dostajemy szereg harmoniczny rozbieżny, a dla \(\displaystyle{ x = -1}\) zbieżny warunkowo (tw Leibniza) szereg naprzemienny.
Aby znaleźć funkcję wyrażającą się przez sumę tego szeregu można go zróżniczkować korzystając z tw o różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz za wyrazem - otrzymamy szereg geometryczny o sumie \(\displaystyle{ \frac{1}{1 - x}}\), którą następnie całkujemy w przedziale \(\displaystyle{ [0, x]}\) dla \(\displaystyle{ -1 qslant x < 1}\).
Ostatecznie: \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n} = -\ln (1 - x)}\), dla \(\displaystyle{ x [-1, 1)}\).