3 całki

[diver]

witam 2 całeczki prosza o pomoc:)
\(\displaystyle{ \int\frac{e^{arctg2x}}{1+x^2}}\)
2. \(\displaystyle{ \int\frac{e^{2x}}{\sqrt[4]{1+e^{x}}}}\)
pozdr

i jescze jedną prosze
\(\displaystyle{ \int e^{-x}arctge^{x}}\)

[Calasilyar]

2)

\(\displaystyle{ \int \frac{e^{2x}}{\sqrt[4]{1+e^{x}}}=|t=e^{x}|=\int \frac{tdt}{\sqrt[4]{1+t}}=
t \frac{t+1dt}{\sqrt[4]{1+t}}-\int \frac{dt}{\sqrt[4]{1+t}}=
t (t+1)^{\frac{3}{4}}dt-\int (1+t)^{-\frac{1}{4}}dt=
\frac{4}{7} (t+1)^{\frac{7}{4}}-\frac{4}{3} (1+t)^{\frac{3}{4}}+C=
\frac{4}{7} (e^{x}+1)^{\frac{7}{4}}-\frac{4}{3} (1+e^{x})^{\frac{3}{4}}+C}\)

[scyth]

1. Hmm... - na pewno przykład jest OK?

2. \(\displaystyle{ e^x+1=t, \ e^x dx = dt dx=\frac{dt}{t-1} \\
t t^{-\frac{1}{4}}(t-1) dt}\)

3. Najpierw przez części:
\(\displaystyle{ u=\arctan{e^x}, \ v'=e^{-x}}\)
dostajemy:
\(\displaystyle{ \int e^{-x}\arctan{e^x} dx = -e^{-x} \arctan{e^x}+\int \frac{1}{1+e^{2x}} dx}\)
I teraz do drugiej całki podstaw \(\displaystyle{ t=1+e^{2x}}\).

[Calasilyar]

scyth, w 2) musisz pamiętać, że \(\displaystyle{ dx=\frac{dt}{t-1}}\)
3) rozwiąż tę drugą całkę tym podstawieniem, które proponujesz...

[scyth]

No tak, zapędziłem się w drugim przykładzie, ale można to łatwo naprawić (poprawione)

Co do trzeciego:
\(\displaystyle{ t=1+e^{2x}, \ e^{2x}=t-1 \\
dt=2e^{2x} dx dx=\frac{dt}{2(t-1)}\\
t \frac{1}{1+e^{2x}} dx = t \frac{dt}{2t(t-1)}=...}\)

[Calasilyar]

Co do trzeciego:

no, myślałem, że będzie gorzej widać się rąbnąłem u siebie w notkach.

Trzecią całkę można by też załatwić podstawieniem: \(\displaystyle{ arctg e^{x}=u}\), ale tam będzie dużo więcej liczenia niż u Ciebie, scyth.

A co do pierwszego czekam na weryfikację autora, bo mi też się wydaję, że coś tam jest nie tak...

[diver]

witam, i dziekuje za pomoc, co do pierwszej, to yyyyyy:D moj błąd, przepraszam to juz sie nie powtórzy, tak jest tam błąd w mianowniku jest \(\displaystyle{ 1+4x^{2}}\) to przez roztagnienie:D reszta ok:) pozdr., czy cos sie zmienia przez ta 4?

[scyth]

A no to wszystko wyjaśnia (myślałem, że tam powinno być ^2 - też by się dało jakoś rozwiązać, ale teraz jest prościej):
\(\displaystyle{ t=e^{\arctan{2x}} \\
dt=2 (\frac{1}{1+4x^2}) (e^{\arctan{2x}}) dx \\
t\frac{e^{arctg2x}}{1+4x^2}=\int \frac{dt}{2}=\frac{t}{2} +C = \frac{\arctan{2x}}{2} + C}\)

[Calasilyar]

ostatnie przejście:
\(\displaystyle{ ...=\frac{1}{2}e^{\arctan{2x}}+C}\),
prawda?