1. \(\displaystyle{ Niech \,\,\,V={w\in R_{3}[x]:w(i)=0}, \,\,\,W={w\in R_{3}[x]:w(1)=w(-1)}}\)
2. \(\displaystyle{ Niech \,\,\,V={w\in R_{3}[x]:w(0)\geqslant{0}}, \,\,\,W={w\in R_{3}[x]:w(x)=-w(-x)}}\)
3. \(\displaystyle{ Niech \,\,\,V={A\in M_{2x2}(R):tr \,A=0}, \,\,\,W={A\in M_{2x2}(R):det(A)=0}}\)
do wszystkich trzech pytanie: Jaki jest wymiar V i jaki jest wymiar V \(\displaystyle{ \cap}\)W
pomocy, jak to się robi?
Wymiar przestrzeni wektorowej
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Wymiar przestrzeni wektorowej
Jak mam rozumieć to 'i' w pierwszym zadaniu?
Póki co zajmę się W, otóż tak:
Przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej trzeciego posiada kanoniczną bazę:
\(\displaystyle{ x^3, x^2, x, 1}\)
Zatem każdy inny wektor z tej przestrzeni da się zapisac jako kombinację liniową w/w bazy.
\(\displaystyle{ R_3[x] \ni w(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\)
Teraz już w naszej przestrzeni W:
\(\displaystyle{ w(1)=a+b+c+d=-a+b-c+d=w(-1)}\)
\(\displaystyle{ c=-a}\)
\(\displaystyle{ W \ni w(x)=ax^3+bx^2-ax+d=a(x^3-x)+bx^2+d}\)
Czyli bazą przestrzeni W są trzy wektory:
\(\displaystyle{ x^3-x, x^2, 1}\)
Tak więc \(\displaystyle{ dimW=3}\)
Póki co zajmę się W, otóż tak:
Przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej trzeciego posiada kanoniczną bazę:
\(\displaystyle{ x^3, x^2, x, 1}\)
Zatem każdy inny wektor z tej przestrzeni da się zapisac jako kombinację liniową w/w bazy.
\(\displaystyle{ R_3[x] \ni w(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\)
Teraz już w naszej przestrzeni W:
\(\displaystyle{ w(1)=a+b+c+d=-a+b-c+d=w(-1)}\)
\(\displaystyle{ c=-a}\)
\(\displaystyle{ W \ni w(x)=ax^3+bx^2-ax+d=a(x^3-x)+bx^2+d}\)
Czyli bazą przestrzeni W są trzy wektory:
\(\displaystyle{ x^3-x, x^2, 1}\)
Tak więc \(\displaystyle{ dimW=3}\)
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2007, o 13:35 przez Emiel Regis, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 126
- Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Wymiar przestrzeni wektorowej
no zapewne jako część zespolona, no bo przecież nie jako jakaś zwykła niewiadomaDrizzt pisze:Jak mam rozumieć to 'i' w pierwszym zadaniu?
[ Dodano: 12 Września 2007, 13:28 ]
skąd to?Drizzt pisze:c= -1
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Wymiar przestrzeni wektorowej
Jeśli jako część urojona to nie wiem czy to zadanie ma sens, pomyśle jeszcze. Z tym c literówka, już poprawiam.
Mogłeś sie domyślic z nastepnej linijki albo samemu rozwiazac rownanie; )
[edit]
\(\displaystyle{ w(i)=-ia-b+ic+d=0}\)
Ale z drugiej strony współczynniki wielomianów są z R.
To ja bym to zrobił dalej tak:
c=a oraz b=d, wtedy:
\(\displaystyle{ V \ni w(x)=ax^3+bx^2+ax+b=a(x^3+x)+b(x^2+1)}\)
Zatem bazą V są:
\(\displaystyle{ x^3+x, x^2+1}\)
\(\displaystyle{ dimV=2}\)
Mogłeś sie domyślic z nastepnej linijki albo samemu rozwiazac rownanie; )
[edit]
\(\displaystyle{ w(i)=-ia-b+ic+d=0}\)
Ale z drugiej strony współczynniki wielomianów są z R.
To ja bym to zrobił dalej tak:
c=a oraz b=d, wtedy:
\(\displaystyle{ V \ni w(x)=ax^3+bx^2+ax+b=a(x^3+x)+b(x^2+1)}\)
Zatem bazą V są:
\(\displaystyle{ x^3+x, x^2+1}\)
\(\displaystyle{ dimV=2}\)
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2007, o 14:48 przez Emiel Regis, łącznie zmieniany 4 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 126
- Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Wymiar przestrzeni wektorowej
a ten iloczyn V i W to jak będzie?
[ Dodano: 12 Września 2007, 14:32 ]
w sensie d=1
no bo baza \(\displaystyle{ x^{3}+x{2}+x+1}\)
[ Dodano: 12 Września 2007, 14:38 ]
woógle to zrobiłem inaczej z tym "i"
o tak:
\(\displaystyle{ w(i) = 0
w(i)=(-ai) - b +ci + 1= 0
-b-i(a-c)=-1
b+i(a-c)=1
a-c=0
c=a
b=1
ax^{3}+x^{2}+ax+1 = a(x^{3}+x)+x^{2}+1
dimV = 3}\)
[ Dodano: 12 Września 2007, 14:32 ]
a nie powinno być zamiast d jeden?Drizzt pisze:\(\displaystyle{ w(i)=-ia-b-ic+d=0}\)
w sensie d=1
no bo baza \(\displaystyle{ x^{3}+x{2}+x+1}\)
[ Dodano: 12 Września 2007, 14:38 ]
woógle to zrobiłem inaczej z tym "i"
o tak:
\(\displaystyle{ w(i) = 0
w(i)=(-ai) - b +ci + 1= 0
-b-i(a-c)=-1
b+i(a-c)=1
a-c=0
c=a
b=1
ax^{3}+x^{2}+ax+1 = a(x^{3}+x)+x^{2}+1
dimV = 3}\)
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Wymiar przestrzeni wektorowej
Z 'i' widze że zrobiłeś tak samo tylko ja chyba z rozpędu minusa wstawilem niepotrzebnie. Teraz moje juz jest dobrze. A d musi być bo bierzesz kombinację liniową bazy. I przez to u Ciebie jest zły wymiar.