Pochwalony
Udowodnic za pomoca indukcji matematycznej
\(\displaystyle{ P_{n}=n!}\)
Please
Z Bogiem
Szczęść Boże! Poprawiam temat, ale następny takiej jakości powędruje niechybnie niczym Sąd Ostateczny do kosza. Calasilyar
Indukcja matematyczna - silnia
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Indukcja matematyczna - silnia
Widzę, że modzi mają duże poczucie humoru. Nie byłoby w tym nic złego, gdyby to był Hyde Park, a nie dział z indukcją...
Oczywiście \(\displaystyle{ P_{n}}\) to liczba permutacji n różnych elementów. Przechodzę do dowodu:
1. Teza \(\displaystyle{ P_{n}}\) jest prawdziwa dla n=1, gdyż z jednego elementu można utworzyć tylko jedną permutację.
2. Wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej n, jeśli \(\displaystyle{ P_{n}}\) jest prawdziwa, to \(\displaystyle{ P_{n+1}}\) jest również prawdziwa. Założmy, że \(\displaystyle{ P_{n}}\) jest prawdzwa dla n ( jest to założenie indukcyjne). Gdy zbiór składa się z n+1 elementów, wówczas na n+1 sposobów można z nich wybrać element, którzy będzie na pierwszym miejscu permutacji. Z założenia indukcyjnego wynika, że pozostałych n elementów można rozmieścić na n miejscach na \(\displaystyle{ n!}\) sposobów. Razem więc jest \(\displaystyle{ (n+1) n!=(n+1)!}\) spososób rozmieszczenia n+1 różnych elementów na n+1 miejscach, czyli teza \(\displaystyle{ P_{n+1}}\) jest prawdziwa.
3. Na mocy zasady indukcji matematycznej, teza \(\displaystyle{ P_{n}}\) jest prawdziwa dla dowolnej liczby naturalnej n.
Oczywiście \(\displaystyle{ P_{n}}\) to liczba permutacji n różnych elementów. Przechodzę do dowodu:
1. Teza \(\displaystyle{ P_{n}}\) jest prawdziwa dla n=1, gdyż z jednego elementu można utworzyć tylko jedną permutację.
2. Wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej n, jeśli \(\displaystyle{ P_{n}}\) jest prawdziwa, to \(\displaystyle{ P_{n+1}}\) jest również prawdziwa. Założmy, że \(\displaystyle{ P_{n}}\) jest prawdzwa dla n ( jest to założenie indukcyjne). Gdy zbiór składa się z n+1 elementów, wówczas na n+1 sposobów można z nich wybrać element, którzy będzie na pierwszym miejscu permutacji. Z założenia indukcyjnego wynika, że pozostałych n elementów można rozmieścić na n miejscach na \(\displaystyle{ n!}\) sposobów. Razem więc jest \(\displaystyle{ (n+1) n!=(n+1)!}\) spososób rozmieszczenia n+1 różnych elementów na n+1 miejscach, czyli teza \(\displaystyle{ P_{n+1}}\) jest prawdziwa.
3. Na mocy zasady indukcji matematycznej, teza \(\displaystyle{ P_{n}}\) jest prawdziwa dla dowolnej liczby naturalnej n.
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 11 wrz 2007, o 23:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Otmuchów
- Podziękował: 2 razy
Indukcja matematyczna - silnia
Dzieki za odpowiedzi Drizzt, scyth byly bardzo pomocne To jest normalne zadanie ktore dostalem do domu z ksiażki na poziomie podstawowym.