Witam!
Jak obliczyć z definicji całkę Lebesgue'a \(\displaystyle{ \int\limits_{[0,1]}x^2dx}\)?
Całka Lebesgue'a z definicji
-
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm Śląski
- Podziękował: 16 razy
- Sir George
- Użytkownik
- Posty: 1145
- Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Konopii
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 203 razy
Całka Lebesgue'a z definicji
Przybliżamy \(\displaystyle{ x^2}\) funkcjami prostymi:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\, \left(\frac{k-1}{n}\right)^2\cdot\chi_{\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right)}\ }\)
Całki Lebesgue'a funkcji po obu stronach nierówności łatwo policzyć, skąd dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac16\cdot\left(1-\frac1n\right)\cdot\left(2-\frac1n\right)\ }\)
Przechodząc z \(\displaystyle{ n\to+\infty}\) dostaniemy szukane rozwiązanie...
...i chwacit...
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\, \left(\frac{k-1}{n}\right)^2\cdot\chi_{\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right)}\ }\)
Całki Lebesgue'a funkcji po obu stronach nierówności łatwo policzyć, skąd dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac16\cdot\left(1-\frac1n\right)\cdot\left(2-\frac1n\right)\ }\)
Przechodząc z \(\displaystyle{ n\to+\infty}\) dostaniemy szukane rozwiązanie...
...i chwacit...