granica z silnią :)

[mostostalek]

mam takie pytanie.. jak się liczy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(2n)!}}\)??

ta granica jest równa 0 ale jak to wykazać??

[Jestemfajny]

Kryterium zbieżności d'Alemberta.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|
\\\lim_{n\to\infty}a_{n}=0}\)
dalej sobie poradzisz:)
pozdrawiam.

[max]

\(\displaystyle{ 0 < \frac{n!}{(2n)!} qslant \frac{1}{2n}}\)
i wystarczy skorzystać z tw o trzech ciągach...

[mostostalek]

a skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ \frac{n!}{(2n)!}\leqslant\frac{1}{2n}}\)?? :/ ja tego nie widzę.. :/

[ Dodano: 11 Września 2007, 21:55 ]
i jeszcze jedno pytanie.. czy nie jest tak, że ciąg musi spełniać warunek konieczny czyli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=0}\), żeby potem dopiero sprawdzać jego zbieżność z kryterium d'Alemberta??

[setch]

Co do drugiego, tak.

[max]

Nie wiem co rozumiesz przez kryterium d'Alemberta czy też warunek konieczny w tym przypadku... prawdziwe jest twierdzenie, że jeśli dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| \leqslant q }\), to ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) zbiega do zera.

A odnośnie tego szacowania powyżej, to chyba nietrudno zauważyć, że
\(\displaystyle{ 2n! = n! \cdot (n + 1)\cdot \ldots \cdot (2n - 1)\cdot 2n}\)

[Emiel Regis]

i jeszcze jedno pytanie.. czy nie jest tak, że ciąg musi spełniać warunek konieczny czyli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=0}\), żeby potem dopiero sprawdzać jego zbieżność z kryterium d'Alemberta??

Granica ciagu zero to jest warunek konieczny zbieżności szeregu więc jeśli jego nie sprawdzisz a Ci z kryterium wyjdzie że szereg jest zbieżny to automatycznie wiesz że i granica ciągu jest zero.

[mostostalek]

ahh dzięki.. o to mi chodziło dokładnie pozdrawiam