Nierówność i indukcja matematyczna

[Pablo90]

Mam problem z rozwiązaniem tej nierówności:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{n\in N{+}} n^{3}+5>2n^{2}}\)

Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc.

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ n^2(n-2)}\) >-5 dla n>1

[Pablo90]

Powiem szczerze, że za wiele mi to nie daje, jestem po pierwszej lekcji dowodzenia nierówności poprzez indukcję matematyczną. Mogę prosić dowód do tej nierówności?

[luka52]

D-d:
\(\displaystyle{ L_T = (k+1)^3 + 5 = k^3 + 3k^2 + 3k + 5 + 1 > 2k^2 + 3k^2 + 3k + 1 > \\
> 2k^2 + 4k + 2 = 2(k+1)^2 = P_T}\)

[Pablo90]

Ok, dzięki. Ale czy tu nie trzeba jakoś wykorzystać założeń?
Bo założenia będą takie:
\(\displaystyle{ k^{3}+5>2k^{2}}\)

[luka52]

hehe owszem nawet trzeba jeżeli chce się udowodnić tą nierówność indukcyjnie.
Już poprawiłem dowód.

[mol_ksiazkowy]

nop Ładniei elegancko...tylko nie zapomnijcie prosze
sprawdzic start indukcji ,aby sie nikt was nie czepiał...
n=1

[Pablo90]

\(\displaystyle{ > 2k^2 + 4k + 2}\)

Może mi ktoś napisać na jakiej podstawie stwierdzić, że to jest mniejsze od poprzedniego wyrażenia? To po prostu chodzi tylko o to żeby było to samo co po prawej stronie? Czy trzeba jeszcze raz skorzystać z założeń? I ostatnie pytanie - jest jakiś inny sposób rozwiązania? Trochę to zawiłe, ale może ktoś zrozumie moje pytania

[luka52]

\(\displaystyle{ 2k^2 + 3k^2 + 3k + 1 > 2k^2 + 4k + 2\\
3k^2 > k + 2\\
k^2 + 2k^2 > k+2}\)
A ta ostatnia nierówność jest chyba "oczywista" bo zarówno \(\displaystyle{ k^2 > k}\) jak i \(\displaystyle{ 2k^2 > 2}\).
(choć lepiej zapisać tą nierówność jako słabą -> patrz przypadek gdy k=1)