\(\displaystyle{ e:=\lim_{n\to } ft(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\approx 2,71828}\)
Aby \(\displaystyle{ e}\) miało granicę to ten ciąg jest rosnący i ograniczony z góry przez (4).
Dlaczego jest ograniczony przez 4
Definicja liczby e - dowód istnienia odpowiedniej granicy
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Definicja liczby e - dowód istnienia odpowiedniej granicy
Granicę ma ciąg, a nie liczba \(\displaystyle{ e}\).
Dowód ograniczoności łatwo przeprowadzić korzystając z wzoru dwumiennego Newtona:
\(\displaystyle{ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} {n\choose k}\frac{1}{n^{k}} qslant \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} qslant 1 + \sum_{k = 0}^{n-1}\frac{1}{2^{k}} = 3 - \frac{1}{2^{n - 1}} < 3}\)
Dowód ograniczoności łatwo przeprowadzić korzystając z wzoru dwumiennego Newtona:
\(\displaystyle{ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} {n\choose k}\frac{1}{n^{k}} qslant \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} qslant 1 + \sum_{k = 0}^{n-1}\frac{1}{2^{k}} = 3 - \frac{1}{2^{n - 1}} < 3}\)
-
Hania_87
- Użytkownik
- Posty: 860
- Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rybnik
- Podziękował: 86 razy
- Pomógł: 57 razy
Definicja liczby e - dowód istnienia odpowiedniej granicy
jest jeszcze inny sposób na dowód: z użyciem nierówności Bernulliego - w części że ciąg jest rosnący
\(\displaystyle{ a_{n}}\)-ograniczony
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{n\in N} a_{n} qslant 4}\) dla n=2k \(\displaystyle{ k\in N}\)
\(\displaystyle{ a_{2k}= (1+\frac{1}{2k})^{2k}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}}\)-ograniczony
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{n\in N} a_{n} qslant 4}\) dla n=2k \(\displaystyle{ k\in N}\)
\(\displaystyle{ a_{2k}= (1+\frac{1}{2k})^{2k}}\)