granica funkcji

[luska]

oblicz granice funkcji:


\(\displaystyle{ 2]}\) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} (\cos{{1 \over x}})}\)

[bolo]

Jednostronne nie istnieją, tym bardziej i ta nie będzie istnieć.

[luska]

ale jak mam to udowodnic ? to znaczy jak wytlumaczyc, ze taka granice nie istnieje?

[bolo]

Granica w punkcie istnieje, jeżeli istnieją i są sobie równe granice jednostronne. Oblicz, a raczej w tym przypadku - "spróbuj" obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}}}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{-}}}\).

[luska]

ja probowałam właśnie, ale jak przekształcic ten cosinus, żeby można było coś stwierdzić

[bolo]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}}\cos\left(\frac{1}{x}\right)}\)

Gdy zbliżamy się do \(\displaystyle{ 0}\) od prawej strony, to ułamek \(\displaystyle{ \tfrac{1}{x}}\) "ucieka" do \(\displaystyle{ +\infty}\). Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\cos{x}}\) nie posiada granicy przy \(\displaystyle{ x\to\infty}\), czyli powyższa granica nie istnieje.

Analogicznie jest dla \(\displaystyle{ x\to 0^{-}}\).

Wniosek: Nie istnieją granice jednostronne, stąd nie może istnieć wyjściowa granica.

[luska]

aha, dziękuję :]

[setch]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \cos \frac{1}{x} \stackrel{\frac{1}{x}=u}{=}\lim_{u \to } \cos u \to \mbox{nie istnieje}}\)

[bolo]

Ogólniej powinno być tak:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\stackrel{\frac{1}{x}=u}{=}\lim_{u\to\pm\infty}\cos{u }\to\mbox{nie istnieje}}\)

[max]

Przydałoby się jeszcze dodać \(\displaystyle{ \pm}\) przy zerze, żeby było wiadomo, że chodzi o granice jednostronne...