\(\displaystyle{ g(x,y)=x^{2}+y^{3}-6xy+18x-39y+1}\)
Czemu tylko fragment wzoru został zapisany w LaTeX-u?
A zadanie bardziej pasuje do Rachunku różniczkowego niż do Granicy funkcji...
max
Wyznaczyć ekstrema lokalne
-
scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Wyznaczyć ekstrema lokalne
Pochodne cząstkowe:
\(\displaystyle{ \frac{\partial g}{\partial x} = 2x-6y+18 \\
\frac{\partial g}{\partial y} = 3y^2-6x-39}\)
Szukamy ich miejsc zerowych (warunek konieczny):
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2x-6y+18=0 \\
3y^2-6x-39 = 0
\end{cases} \\
\begin{cases}
x=3y-9 \\
y^2-2x-13 = 0
\end{cases} \\
(x=-6 y=1) (x=6 y=5)}\)
Liczymy drugi pochodne cząstkowe:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = 2 \\
\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 6y \\
\frac{\partial^2 g}{\partial x y} = -6 \\}\)
Mamy hesjan:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}
2 & -6 \\
-6 & 6y
\end{array}\right|
= 12y-36}\)
Zatem funkcja g przyjmuje w \(\displaystyle{ (-6,1)}\) maksimum (hesjan ujemny) a w \(\displaystyle{ (6,5)}\) minimum.
\(\displaystyle{ \frac{\partial g}{\partial x} = 2x-6y+18 \\
\frac{\partial g}{\partial y} = 3y^2-6x-39}\)
Szukamy ich miejsc zerowych (warunek konieczny):
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2x-6y+18=0 \\
3y^2-6x-39 = 0
\end{cases} \\
\begin{cases}
x=3y-9 \\
y^2-2x-13 = 0
\end{cases} \\
(x=-6 y=1) (x=6 y=5)}\)
Liczymy drugi pochodne cząstkowe:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = 2 \\
\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 6y \\
\frac{\partial^2 g}{\partial x y} = -6 \\}\)
Mamy hesjan:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}
2 & -6 \\
-6 & 6y
\end{array}\right|
= 12y-36}\)
Zatem funkcja g przyjmuje w \(\displaystyle{ (-6,1)}\) maksimum (hesjan ujemny) a w \(\displaystyle{ (6,5)}\) minimum.