Obwód okna
Obwód okna
Okno ma kształt prostokąta zakończonego na górze trójkątem równobocznym. Obwód okna wynosi p. Jaka powinna być podstawa prostokąta, aby powierzchnia okna była największa
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Obwód okna
a - podstawa trójkąta i podstawa prostokąta
b - bok prostokąta
Z warunków zadania \(\displaystyle{ p=3a+2b b=\frac{p-3a}{2}}\)
Powierzchnia okna to powierzchnia prostokąta + powierzchnia trójkąta, czyli
\(\displaystyle{ a\cdot b+a^2\frac{\sqrt{3}}{4}=-a^2\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)+\frac{ap}{2}}\)
Mamy funkcję kwadratową skierowaną "w dół" - maksimum jest osiągane w wierzchołku paraboli. A współrzędne wierzchołka paraboli to:
\(\displaystyle{ \frac{-\frac{p}{2}}{2 ft(- ft(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right)} = \frac{p}{4\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)} = \frac{p}{6-\sqrt{3}}}\)
Stąd szukane \(\displaystyle{ a = \frac{p(6+\sqrt{3})}{33}}\)
sztuczne zeby - poprawiłem, dzięki
b - bok prostokąta
Z warunków zadania \(\displaystyle{ p=3a+2b b=\frac{p-3a}{2}}\)
Powierzchnia okna to powierzchnia prostokąta + powierzchnia trójkąta, czyli
\(\displaystyle{ a\cdot b+a^2\frac{\sqrt{3}}{4}=-a^2\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)+\frac{ap}{2}}\)
Mamy funkcję kwadratową skierowaną "w dół" - maksimum jest osiągane w wierzchołku paraboli. A współrzędne wierzchołka paraboli to:
\(\displaystyle{ \frac{-\frac{p}{2}}{2 ft(- ft(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right)} = \frac{p}{4\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)} = \frac{p}{6-\sqrt{3}}}\)
Stąd szukane \(\displaystyle{ a = \frac{p(6+\sqrt{3})}{33}}\)
sztuczne zeby - poprawiłem, dzięki
Ostatnio zmieniony 11 wrz 2007, o 09:11 przez scyth, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 623
- Rejestracja: 24 maja 2006, o 17:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ..
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 110 razy