Na początku napiszę z czym mam do czynienia.
Posiadam pewną nieortogonalną bazę wektorów w przestrzeni trówymiarowej:
\(\displaystyle{ B=(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}\)
Jest tak, że długości wektorów wynoszą odpowiednio a, b i c a kąty miedzy nimi są równe odpowiednio między wektorami \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\) to kąt \(\displaystyle{ \gamma}\), między wektorami \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{c}}\) to kąt \(\displaystyle{ \beta}\) i między wektorami \(\displaystyle{ \vec{b}}\) i \(\displaystyle{ \vec{c}}\) to kąt \(\displaystyle{ /alpha}\). Mogę teraz zdefiniować coś takiego jak przestrzeń odwrotną podając jej bazę (bazę odwrotną) jako:
\(\displaystyle{ B^{*}=\left(\vec{a}^{*}=\frac{\vec{b}\times\vec{c}}{V},\ \ \ \ \ \ \vec{b}^{*}=\frac{\vec{c}\times\vec{a}}{V},\ \ \ \ \ \ \vec{c}^{*}=\frac{\vec{a}\times\vec{b}}{V}\right)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ V=\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a})=\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})}\)
Poza tym słuszne jest, że:
\(\displaystyle{ \vec{a}\cdot\vec{a}^{*}=\vec{b}\cdot\vec{b}^{*}=\vec{c}\cdot\vec{c}^{*}=1}\)
i
\(\displaystyle{ \vec{a}\cdot\vec{b}^{*}=\vec{b}\cdot\vec{c}^{*}=...=0}\) (wszystkie mieszane są równe zero)
Jeśli teraz będę chciał policzyć iloczyn skalarny wektora przedstawionego następująco:
\(\displaystyle{ \vec{r}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}}\)
z drugim wektorem:
\(\displaystyle{ \vec{H}=h\vec{a}^{*}+k\vec{b}^{*}+l\vec{c}^{*}}\)
to jak można udowodnić, że to się równa dokładnie \(\displaystyle{ hx+ky+lz}\) ?
Bo zasadniczo są to dwa wektory z tej samej przestrzeni, tylko przestawione w różnych bazach. Oczywiście można policzyć iloczyn skalarny wymnażając wszystko ze wszystkim a potem korzystając z tych warunków co podałem wyżej, ale w książkach z matematyki nie znalazłem żadnej definicji, która by uwzględniała dwie bazy (zawsze biorą tam pod uwagę jedną bazę). Wtedy trzeba by te wzory tak poprzekształcać (właśnie nie mam pojęcia jak) aby wyrazić drugi wektor w pierwszej bazie. Z góry dziękuję za wszelaką pomoc. Pozdrawiam