środkowe trójkąta ...

[anulka]

Mam problem z tym zadankiem :

Środkowe trójkąta ABC poprowadzone z wierzchołków A i B maja długości odpowiednoi równe 9 i 12, a przecinaja sie pod kątem prostym. Oblicz długości boków AB i AC.

Z góry dzieki =]

[Vixy]

środkowe dzielą sie w stosunku 2:1

\(\displaystyle{ \frac{x}{y}=\frac{2}{1}}\)

x=2y


x+y=9

3y=9
y=3

x=6




\(\displaystyle{ \frac{a}{b}=\frac{2}{1}}\)
\(\displaystyle{ a=2b}\)

3b=6
b=2

a=4




dziela sie pod katem prostym wiec pozostalo juz tylko tw. pitagorasa zeby obliczyc dlugosc boku AB i AC

[nowa90]

Nie będę tworzyć nowego tematu, bo chodzi mi również o środkowe trójkąta.

Mam udowodnić, że z środkowych trójkąta można zbudować inny trójkąt, ale przy pomocy wektorów.

Proszę o pomoc i z góry dziękuję.

[DEXiu]

nowa90 ==> Niech \(\displaystyle{ ABC}\) będzie naszym trójkątem a \(\displaystyle{ AA'}\), \(\displaystyle{ BB'}\), \(\displaystyle{ CC'}\) jego środkowymi. Widzimy, że:
\(\displaystyle{ \vec{AA'}=\vec{AB}+\vec{BA'}=\vec{AB}+\frac{\vec{BC}}{2}\\\vec{BB'}=\vec{BC}+\vec{CB'}=\vec{BC}+\frac{\vec{CA}}{2}\\\vec{CC'}=\vec{CA}+\vec{AB'}=\vec{CA}+\frac{\vec{AB}}{2}}\)
Sumując stronami otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \vec{AA'}+\vec{BB'}+\vec{CC'}=1\frac{1}{2}\cdot(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA})=\vec{0}}\)
co kończy dowód