dowod na niewymiernosc

pietruchaikoper · Post autor: **pietruchaikoper** » 10 wrz 2007, o 18:28

\(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt{3}}\)

Poprawiam zapis. Polecam poczytać instrukcję LaTeXa z Ogłoszenia. Calasilyar

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 10 wrz 2007, o 19:12

Niemal identyczny (tylko nieco bardziej skomplikowany

) problem został rozwiązany dosłownie dwa posty niżej --> link
Ale proszę:
Załóżmy nie wprost, że liczba \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}+\sqrt{3}}\) jest wymierna. Wówczas wymierna będzie także liczba \(\displaystyle{ x^{2}=5+2\sqrt{6}}\). A to już oczywiście nieprawda Sprzeczność

pietruchaikoper · Post autor: **pietruchaikoper** » 10 wrz 2007, o 20:06

a moglby mi to ktos bardziej rozpisac? bo ja jutro to robie na ocene a boje sie ze cos pomyle jak bede sama to rokladac ??:

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 10 wrz 2007, o 20:11

pietrucha i koper napisała"

a moglby mi to ktos bardziej rozpisac? bo ja jutro to robie na ocene a boje sie ze cos pomyle jak bede sama to rokladac

heh, po prostu DEXiu przeprowadził dowod nie wprost, tj
załozył ze liczba x jest wymierna i uzyskał sprzecznosc:
gdyz prawa strona tego równania jest l. niewymierna
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}-5}{2}=\sqrt{6}}\).

pietruchaikoper · Post autor: **pietruchaikoper** » 10 wrz 2007, o 20:22

teraz to jush wogole nie rozumiem

[ Dodano: 10 Września 2007, 20:43 ]
prosze o pomoc

PFloyd · Post autor: **PFloyd** » 10 wrz 2007, o 21:23

jeżeli \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) jest l. wymierną, to \(\displaystyle{ \exists _{p,q R\wedge NWD(p,q)=1} \frac{p}{q}=\sqrt{6}}\)

wtedy
\(\displaystyle{ \frac{p^2}{q^2}=6\\
p^2=2\cdot 3\cdot q^2}\)
i już chociażby tutaj widzimy sprzeczność bo \(\displaystyle{ p^2}\) w rozkładzie na czynniki pierwsze musiałoby mieć 2 w nieparzystej potędze.

Zatem \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) jest liczbą niewymierną
a z
\(\displaystyle{ \frac{x^2-5}{2}=\sqrt{6}}\) wynika że w takim razie \(\displaystyle{ \frac{x^2-5}{2}}\) jest niewymierne.

Z tego bezpośrednio wynika że \(\displaystyle{ x^2}\) jest niewymierne czyli \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}+\sqrt{3}}\) jest niewymierne

Jeśli jakiś krok jest niejasny, pisz.

pietruchaikoper · Post autor: **pietruchaikoper** » 10 wrz 2007, o 21:31

\(\displaystyle{ \frac{x^{2}-5}{2}=\sqrt{6}}\).
[/quote]

a jak doszlo do tego dzialania?

PFloyd · Post autor: **PFloyd** » 10 wrz 2007, o 22:36

\(\displaystyle{ x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\
x^2=5+2\sqrt{6}\\
\frac{x^2-5}{2}=\sqrt{6}}\)

pietruchaikoper · Post autor: **pietruchaikoper** » 15 wrz 2007, o 13:14

dziekuje