2 krótkie całki

[Kubagwk]

Czy ktoś mógłby mi rozwiązać te 2 całki gdyż nie jestem pewien ich rozwiązania


a)\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} \sqrt{r^{2}+4} \ dr}\) b)\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2} \frac{1}{e^{2r^{2}}}\ dr}\)

[luka52]

Skoro nie jesteś pewien rozwiązania, więc pewnikiem pewne obliczenia już przeprowadziłeś - zaprezentuj je i napisz z czym jest problem.

[Kubagwk]

a)\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} \sqrt{r^{2}+4} \ dr =\int\limits_{4}^{5} \sqrt{t}\ \frac{dt}{2} = \frac{2}{3} \sqrt{t}^{3}|_{4}^{5} = \frac{2}{3} \sqrt {(5-4)}^{3} = \frac{2}{3} \sqrt{1} = \frac{2}{3}}\)

b)\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2} \frac{1}{e^{2r^{2}}}\ dr = t\limits_{0}^{2} e^{-2r^{2}}}\ dr = -4r e ^{-2r^{2}} |_{0}^{2} = - 4(2)e ^{-2(2)^{2}} = -8 e ^{-8}}\)


Czy to jest dobrze ?

[scyth]

Niestety źle.
\(\displaystyle{ \int \sqrt{r^2+4} dr =
\begin{array}{c c}
u = \sqrt{r^2+4} & u'=\frac{r}{\sqrt{r^2+4}} \\
v'=1 & v=r
\end{array}
= r \sqrt{r^2+4} - t \frac{r^2}{\sqrt{r^2+4}} dr = \\
= r \sqrt{r^2+4} - t \frac{r^2+4-4}{\sqrt{r^2+4}} dr =
r \sqrt{r^2+4} - t \sqrt{r^2+4} dr + 4\int \frac{1}{\sqrt{r^2+4}} dr}\)
Zatem mamy:
\(\displaystyle{ 2 t \sqrt{r^2+4} dr = r \sqrt{r^2+4} + 4\int \frac{1}{\sqrt{r^2+4}} dr \\
t \sqrt{r^2+4} dr = \frac{1}{2} r \sqrt{r^2+4} + 2 arcsinh ft(\frac{x}{2}\right)}\)

[ Dodano: 10 Września 2007, 11:34 ]
Wynik drugiej całki to \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{2}} erf(2 \sqrt{2})}\), gdzie erf jest Dość trudne zadanie do policzenia .