promień zbieżności szeregu

[Kubagwk]

Obliczyć promień zbieżności szeregu potęgowego \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^{n}2^{n}}{n3^{n}}}\). Wyznaczyć przedział zbieżności tego szeregu

[Hamster]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^{n}2^{n}}{n3^{n}}}\)

\(\displaystyle{ x_0=-2}\)

\(\displaystyle{ R=\lim_{n\to } |\frac{cn}{cn_{+1}}|}\)
\(\displaystyle{ R=\lim_{n\to } \frac{2^n}{n3^n}\cdot \frac{(n+1)3^{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{3}{2}}\)

Przedział zbieżności = \(\displaystyle{ ?(x_o-R,x_0+R)? =?(-\frac{7}{2},-\frac{1}{2})?}\)

To tyle, jeśli chodzi o rpzedział, jeśli masz go też sprawdzić to napisz.

[Kubagwk]

dlaczego \(\displaystyle{ x_{0} = -2}\) ? Czy to \(\displaystyle{ x_{0}}\) podstawiam pod x tak aby przy liczeniu R nie było żadnego x ?
Czy zawsze przy liczeniu R wykorzystuje się wzór \(\displaystyle{ R=\lim_{n\to } |\frac{cn}{cn_{+1}}|}\) ?

I co to są te znaki zapytania pod koniec. czy to miała być poprostu przerwa ?

[Hamster]

Definicja szeregu potęgowego:

Szeregiem potęgowym o środku w punkcie \(\displaystyle{ x_0 \in R}\) i współczynnikach \(\displaystyle{ c_n \in R}\), gdzie n= 0,1,2,3... nazywamy szereg funkcyjny postaci:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-x_0)^n}\) , gdzie \(\displaystyle{ x \in R}\)

Promieniem zbieżności szeregu potęgowego \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-x_0)^n}\) nazywamy liczbę R określoną równością:

R = 0, gdy \(\displaystyle{ \overline{\lim}_{n\to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} = \infty}\)

R = \(\displaystyle{ \frac{1}{\overline{\lim}_{n\to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}}}\), gdy \(\displaystyle{ 0 }\)

Oczywiście \(\displaystyle{ \overline{\lim}_{n\to \infty} \sqrt^n{|c_n|}}\) oznacza granicę górną.

Można skorzystać także z wzoru \(\displaystyle{ R=\lim_{n\to \infty} |\frac{cn}{cn_{+1}}|}\) lub \(\displaystyle{ R=\lim_{n\to \infty} |\frac{1}{\sqrt[n]c_n}|}\)

Odnośnie tych znaków zapytania przeczytaj twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda .

Pozdrawiam

[Kubagwk]

A ile by wynosiło \(\displaystyle{ x_{0}}\) w \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2-2x)^{n}2^{n}}{n3^{n}}}\) ?

[dd0_0bb]

wg mnie lepsza metoda jest liczyc promień zbieżności za 2-2x podstawiasz sobie t i liczysz z jakiegos kryterum wyjdzie Ci przedział od t i porównojesz go z x, czyli za t wstawuasz ten 2-2x.

przykład te(-2;2) to -2