obliczyć granice
-
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 16 sie 2007, o 17:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 19 razy
obliczyć granice
Obliczyć granice \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (1,1)} \frac{(x-1)(y-1)}{x+y-2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 2 maja 2007, o 11:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jelenia Góra
- Pomógł: 15 razy
obliczyć granice
Funkcja nie posiada granicy w tym punkcie
Weź dwa przykłady różnych ciągów zbieżnych do \(\displaystyle{ 1}\)
\(\displaystyle{ 1)}\)
\(\displaystyle{ x_n=1+\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ y_n= 1+\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow }f(x_n,y_n)=\lim_{n\rightarrow }\frac{(1+\frac{1}{n}-1)(1+\frac{1}{n}-1)}{1+\frac{1}{n}+1+\frac{1}{n}-2}=\lim_{n\rightarrow }\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{2}{n}}=\lim_{n\rightarrow }\frac{1}{2n}=0}\)
\(\displaystyle{ 2)}\)
\(\displaystyle{ x_n=1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}}\)
\(\displaystyle{ y_n= 1+\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow }f(x_n,y_n)=\lim_{n\rightarrow }\frac{(1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}-1)(1+\frac{1}{n}-1)}{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}+1+\frac{1}{n}-2}=\lim_{n\rightarrow }
\frac{(-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3})\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^3}}=\lim_{n\rightarrow }\frac{-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^3}}=\lim_{n\rightarrow } -n+\frac{1}{n}=-\infty}\)
Weź dwa przykłady różnych ciągów zbieżnych do \(\displaystyle{ 1}\)
\(\displaystyle{ 1)}\)
\(\displaystyle{ x_n=1+\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ y_n= 1+\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow }f(x_n,y_n)=\lim_{n\rightarrow }\frac{(1+\frac{1}{n}-1)(1+\frac{1}{n}-1)}{1+\frac{1}{n}+1+\frac{1}{n}-2}=\lim_{n\rightarrow }\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{2}{n}}=\lim_{n\rightarrow }\frac{1}{2n}=0}\)
\(\displaystyle{ 2)}\)
\(\displaystyle{ x_n=1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}}\)
\(\displaystyle{ y_n= 1+\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow }f(x_n,y_n)=\lim_{n\rightarrow }\frac{(1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}-1)(1+\frac{1}{n}-1)}{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}+1+\frac{1}{n}-2}=\lim_{n\rightarrow }
\frac{(-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3})\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^3}}=\lim_{n\rightarrow }\frac{-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^3}}=\lim_{n\rightarrow } -n+\frac{1}{n}=-\infty}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 16 sie 2007, o 17:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 19 razy
obliczyć granice
A czy takie rozwiązanie jest złe ?
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (1,1)} \frac{(x-1)(y-1)}{x+y-2} = \lim_{x\to 1} [ \lim_{y\to 1} \frac{(x-1)(y-1)}{x+y-2}] = \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)0}{x-1} = \lim_{x\to 1} 0 =0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (1,1)} \frac{(x-1)(y-1)}{x+y-2} = \lim_{x\to 1} [ \lim_{y\to 1} \frac{(x-1)(y-1)}{x+y-2}] = \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)0}{x-1} = \lim_{x\to 1} 0 =0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 16 sie 2007, o 17:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 19 razy
obliczyć granice
Aha czyli tak można liczyć granice w których x i y dążą do pewnych punktów a nie do zera ?
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
obliczyć granice
Skąd taki wniosek?Aha czyli tak można liczyć granice w których x i y dążą do pewnych punktów a nie do zera ?
Przecież tutaj ani x ani y nie dąży do zera...
-
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 2 maja 2007, o 11:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jelenia Góra
- Pomógł: 15 razy
obliczyć granice
Tu punkt w którym liczysz nie ma żadnego znaczenia i nie można tak liczyć granicy dlatego policzenie granicy funkcji dwóch zmiennych zazwyczaj jest trudniejsze, choć jeśli już Ci się uda i wyjdzie że granica podwójna istnieje to to co Ty policzyłeś czyli granica iterowana też będzie tyle wynosić, ale nie możesz wnioskować na podstawie wartości granicy iterowanej że taka jest granica podwójna w tym punkcie, to nie jest równoważne